05.题型梯度、散度、旋度的计算

罗泽兵

好围绕这个内容呢，考题那往往就是让我们算梯度，散度，悬度，包括方向导数。那么，其中方向导数和梯度考的会更多一些。好，下面呢？我们来看具体的例子。然后你看。求这个函数。在这一点。沿着a指向b的方向导数。那这个时候呢，

注意根据那个方向导数的计算公式，就是说这个pupl。那你首先得算三个偏导好，那我们在这呢，我们首先来算这个三个偏导，比如说对x求偏导。那么当然，本来是这个对x求，然后把这个点带进去。但是呢，注意我认为是算具体点，怎么做会更方便呢？你对x求就可以把yz用它代进去。哎，那大家看你这个y用谁的呀？

y用零的z用谁的一的？那这个u就等于谁？就是说这个ux的零一。y=0代z用e代，那这不就等于谁？这就等于ln的一+x。那这样的话，那你注意你这个ux的一零一，它就等于谁？就等于这个对x求导，把x等于一代进去，这个对x求导是一加x分之一。然后把x等于一代，这就是谁二分之一？好啦，

为了算对外的偏导。那这个时候呢？那这儿呢？就是x用一代进去。那这儿呢是y，然后z呢也用谁代进去啊？一代进去。好，这个x和z都用一代进去，这是谁？这就是ln的一加。这个根号的谁呀？这是根号的外方，再加一。诶，

这个时候呢，大家注意啊，是要算它在零点导数。大家可以注意啊，这个呢，是一个偶函数。它一求导是不是个奇函数？奇函数在零点等于谁啊零啊？所以这个不用算了，所以就是uy e。一零一这个就等于零啊，因为它是偶函数，偶函数的导函数，奇函数，奇函数零点等于零。

好，那这个时候呢，算另外一个。那你要算对z的偏导数，我就可以把x零一y=0代进去。大家看剩下谁？这个y等于零一代，这是z平方开方，因为你算一这一点，所以就是z那这个u呢就u就等于谁？这就剩下一个ln x，用一代y用零代，那是不是就是一+z？然后呢u对z求偏到一零一。那就这个对于z求导，

再把一代进去，那这样的话就是一加z分之一，把z等于一代进去，这个也等于是二分之一。好，那这个时候呢，三个偏导数有了，然后完了以后呢，是在这一点。啊，是在这一点，沿着它指向它。那这样的话，我们得把这个向量写出来AB，这个向量找到。

a到b这个向量这个怎么写？那就等于中点坐标减七点坐标三减一。这不就是l吗？然后呢？负二减零，这就是负二，然后呢？这是谁？这不是二减一。这不就是一吗？那行了，这个方向导数就等于谁呀？那你要求的这个方向导数偏u偏l。就等于谁三个偏导数这儿呢？是二分之一乘上谁呀？

乘上这地方的二。然后呢，再加第二个就是零乘上谁乘上发？然后呢，再加上谁二分之一乘上这个地方的谁呀一呀？然后一算就可以了呀，是不是这样子啊？大家注意，在考场上有很多同学，这就把分丢了，这就是经典错误标准的零分。哪里错了？注意人家后面乘的应该是谁啊？cos阿尔法cos贝塔cos的伽马。而你乘的是谁？

乘的是这个向量的三个坐标。但这是很多同学容易犯的错误，就这种填空题分数都丢了。那大家注意这个怎么找它的方向余弦呢？就是把它单位化呀。那大家看这个向导的模是谁啊？摩不是就是根号底下二的平方四，这是四四，这是九啊，这是三。所以这不是乘它应该乘三分之二，要把它单位化负三分之二，这是三分之一。这就对了。然后完了以后呢，

大家看一乘这个地方是三分之一，这个是零。那这个是三分之二，那这个时候呢？啊，这个地方是六分之一嗯，这是三分之一，这地方是六分之一，那么这样的话，这个地方是六分之二。那么，六分之二跟这个六分之一加六分之三，最后答案是谁呀？二分之一。所以这个要切记注意，

就这个地方容易犯的一种错误，就是用三个偏导数跟人家乘了，谁乘这个向量的三个坐标？二年应该是乘谁方向余弦，所以这地方也一定要单位化，这是很多同学在考场上犯的错误。这是一个方向导数的计算。好，下面呢？我们再来看。说在椭球面上求一点。使函数这个。在这一点沿着在在。在使得这个函数在这个椭球面这一点处，沿着这个方向的方向，

导数最大。那大家注意，在椭球面上求一点，那那个点呢？我现在记做xyz。那它要求这个函数在这一点沿这个方向的方向导数最大。那这样的话，我先得把这个的方向余弦表示出来。那这个方向余弦是谁啊？它的模就是这个方向向量除以模它的模是根号二，所以呢，它的方向余弦就是它这个方向的单位向量。那这应该是根号二分之一，这是负的根号二分之一，那这应该是零。

那这个方向导数等于谁？就等于它在这点三个偏导数。然后乘上这个分别乘方向有一些相加。那大家注意，它的第一个偏导数是2x。第二个偏导数是2y，第三个是2z，对应相乘再相加。那这个时候呢，要它最大，但是这个点又是取在谁啊？取在这个椭球面上的。所以呢，它实际上是个条件最值。所以在这呢，

我们要构造拉格朗日函数，就是大f等于。你不是要这个方向导数最大吗？那这个时候呢？这两个相乘相加，大家看这个一乘的话这。这实际上是根号2x。减去谁呀？根号二的y。然后完了以后呢？这个后面呢？加上一个谁拉姆达倍的，那这儿呢？应该写2x方加二。y方，

然后再加z方减一。这是这个二元函数在球火球面内一点，沿这个方向的方向导数要它最大，但这个点又是取的这个上。再构造拉格朗日函数。然后构造完了以后呢？这个时候呢，就是根据纳格朗日承受法，那就是fx fy。然后f lambda=0。那这个呢？对x求大家看，这是根号二，然后再加上那这儿呢？应该是四拉姆达x。

这个等于零。然后完了以后呢，这个对外求那这是谁？这是负根号二。这呢对外求，这应该加上4 lambda的y=0。然后这对达姆达求，那就是2x方加2y方，然后加z方减一。一=0。这个时候注意由这个式子，我们可以得到，谁可以得到，你看这两个差一个符号，所以我们可以得到四拿姆达x。

那这个呢？应该等于谁负的四那么到y？那实际上把四一消最后就得到谁啊？拿姆达乘上谁x+y？等于零那这呢，有两种情况，一个呢就是拉姆达等于零。但是大家注意，一旦拿姆达等于零，那不是得到根号二=0，所以这个不能要。那第二就是谁啊？就得到的就是y等于谁啊？负x。啊y=-x。

然后完了以后呢，注意这个y=-x。这个时候呢，我们通过这个东西呢，我们不是得到y=-x以后，然后把这个呢就。就是带到这个原来这个方程里边去。那么，代到原来这个方程里边去啊，然后我们就可以求出哦，这地方还缺了一个抱歉啊。这个f要对x对y对咱们的还应该有一个谁抱歉啊，这个f还要对z啊。那么，这个f=z呢？

大家注意这个要求偏导的话，这个地方是没有的好，然后呢？只有这个地方。那这个地方呢？我们得到的是谁？得到的就是二倍的拉姆达z。这个也要等于零。那么二倍的拿姆达z=0，我们刚才说了，这个达姆达又不等于零，所以这地方得到的z是等于零。然后把这个z=0 y=-x代到这个方程里边去。那z=0，这个没了y又等于负x那这一代的话，

实际上我们得到的是4x方，应该等于一。那我们得到这个四x方等于一以后，那这个时候呢，我们就会得到谁啊？得到这个x方就等于四分之一。那x呢，就应该等于正负二分之一。但是y又等于负xy就等于负正二分之一。所以这样的话，我们就得到两个点。那一个点呢，就是二分之一负二分之一零。那么，另外一个点呢？

就是负二分之一，二分之一零。然后注意我们把这个呢分别带进去算一下这个。两个点上这个方向导数，但是它要那个方向导数最大呀。那么，大家注意，如果把这个带进去。那么这儿的话，这个地方呢？是二分之根号二。然后第二项呢？一代这地方也是一个二分之根号二。那这个最后等于谁？最后就等于根号二。

如果把这个代进去，那这个第一项是负二分之根号二，第二个呢？代进去也是个负的二分之根号二。这就等于谁负根号二。那显然这个最大。所以所要求的点就是这个点就是二分之一负二分之一零。那大家注意这呢，实际上是个综合性的题目啊，它是要求在椭球面上求一点。使得内在内点这个函数沿这个方向的方向导数最大。首先要把方向导数表示出来，那要它最大点又取在这个球面上，所以它是一个谁啊？它是一个条件最值，

所以我们构造拉格朗日函数，然后这个大f对xyz拿姆达求偏导等于零。解方程组解两个点。然后把这两个点具体带进去，算出两个方向，导数比较一下谁大谁就是我们要的那个点。这就是一个综合性的问题。然后我们再来看，比如说像这样的问题，这个呢是二零一二年我们数学一的卷子的考题。好求一个梯度。大家注意t度是个什么？是个向量。这是个三元函数，梯度向量的三个坐标是谁？

就是这个的三个偏导数。那么，大家注意这个对x求。那把yz都是看常数，那这样的话，这个时候呢，我们得到的第一个是谁？就这个对x求数值的y。y那把一代进去，所以这个梯度这个向量的第一个坐标就是一。然后呢？第二个是谁？就是这个对外求。这个的y求的话是x减谁y方分之z？然后把这个点带进去，

这就是二减去一，这个也等于一，所以这是一。第三个呢，就是这个对z求，这是常数，这对z求就是谁y分之一y分之一把y等于一代进去也是一。所以这个梯度就是它在那点三个偏导数为坐标的，这个向量。就叫它的梯度项啊。好，这是关于这样一道。那么下面呢？再来看，这是一九八九年，

他说向量这个在这一点的散度。散度等于谁？散度就等于。它在这一点对x的偏导，加上散度是个数量，加上它对y的偏导数，在这一点值。它对z偏导数在这一点值。那所以我们立马可以写这个散度u等于。它的x求偏导是y平方，把这个点一带，这就是一。这个呢，对于外求，那对外求就是ez ez把这个一带也是一。

然后呢，再加上这个对谁求对z求它对z求的话是一+z^2分之。二倍xz把这个点带进去。这个点代进去，因为z=0，所以这个就等于c，这个就等于零，这三个偏导数相加就是散度，所以就是二。那这个要会算。好，然后呢？再来看。二零一八年。这个向量长要求它在这一点的悬度。

啊，要求它的这一点的悬度。然后那我们知道这个悬度，我们是有计算公式的啊。那全部出来是一个谁啊？它是一个向量。嗯，它是一个向量，那这个向量是谁呀？这儿呢？就是I，然后这儿是谁？这儿是j。然后这儿呢是k啊，这儿是k这儿呢，

是偏谁呀？偏x这是偏偏y。然后呢，这是偏偏z。然后这是谁？这就是pqr。我们的p是谁xy？那我们的q是谁啊？负yz。那我们的这个r是谁啊zx？然后完了以后注意把这个点带进去，就是一一零带进去。好，那我们在这看啊，一个一个看，

首先我们来看这个I。去掉这一行，去掉这一列，那注意这个求偏导减去这个。那大家注意，这对y求实际上是零要减去这个对z求。这个东西内求的话，本来这个地方是负y--y，就等于加上y。那么这个呢？把谁带进去啊？把这个点带进去。所以这地方呢，应该是一。然后呢？

看这个j的这个划掉这一行划掉这一列。那注意，首先是。这两个那就是它对谁啊x求，这应该是z。减去谁呀？减去这个，你不是这列这这一行这一列划掉这个减去这个。这个是谁啊零？但是注意，这有个负号。所以这个应该等于谁是负z，但是z=0 z=0，这还是零。然后再看这个k的这个。

划掉这一行，划掉这一列。然后呢？这个时候呢？我们来看这地方呢？这儿呢？应该用这个就是这个对外球。它应该是x。减去这个对x求，实际上减去个零。然后把这个点一带，这是谁啊？这就是一好。等一下，我们这道算错了一个啊，

就是这个k的话哦k应该是这个就是这个对z求。嗯，划掉这个，那应该是这个对外球啊，这个对外球这个这个对外球。应该这个是这样子啊，要是这个的话，应该是它对这个x求。那这写错了啊呃，这个地方写错了，那应该是这个对x求这个是零。然后呢，减去这个对y求这儿呢，是减去这个x。然后这个一减的话，

那这个时候把这个点再带进去，那这个地方应该是负一啊，所以这个地方是负一。那这个地方是负一，所以最后呢？这个就是I减去谁啊？减去这个k。啊，就是算这个k的时候是划掉这个行，划掉这个列。那么，这样的话就是它对x求，它应该是零减去它对y求，它对y是x。所以这个地方算出来应该是个负一。

那么，这样就得到了，所以你看在我们考卷里边，关于这个地方方向导数梯度，弦度，散度。这个地方的要求还是比较基本，就会算梯度，旋度，散度，就记住它们的计算公式。会算方向导数，这个要求就达到了。好，这次课的主要内容这这么多，

简单给大家总结一下啊，你看要点一个呢，就是前面的二型。线积分二型面积分主要是二型线面积分的计算。那这个呃，就是两两类面积分就是一型面积分和二型面积分，两类面积分的计算。那这个异性面对方的计算主要是三个方法，一个呢是直接算就化为二重，一个是用奇偶性。一个是变量对称性。而二形面积分呢，也是三个方法，要么直接算，要么封闭曲面就高四。

还有一个呢，叫曲面不封闭，直接算不方便捕灭高斯。两类面积分各有三种方法。然后再下呢，就多元积分的应用。那我们把这个二重三重一形线一形面用一张表。就把这四种积分应用就归纳完了，它主要包括。几何度量。算质量。算纸芯包括算行星，包括算谁呀？转动惯量，而二型线面积分的应用。

主要也就是二型现阶分应用变力做功。这是关于多元积分应用，然后完了第三个内容就是三个度加一个方向，导数梯度，弦度，散度。会算方向导数，会算要求就达到，那当然就是记住它的计算公式和计算方法。这就是我们这一次课的全部内容。好同学们，再见！