01.知识方向导数

罗泽兵

那么下面呢？我们再来看最后一节就是场论初步。那这个场论初步呢？有的是多元微分里边的，因为二跟三不要求我们没在前面复习。那就是一个就是方向导数啊，那么方向导数是来刻画什么？大家知道一个z=zxy这个二元函数。我们引入个偏导数。那偏导数呢？它在那点这反应对x偏导数沿x轴反应在x轴方向的变化率。那么，对外的偏转的时候，反应沿y轴方向变化率。那一个二元函数在这一点，

除过这个x轴和y轴方向变化率，那还有其他方向的变化率啊。用谁来刻画呢？我们就引入了方向导数啊。那这个时候呢，比如说这个二元函数f在x0y0这点沿一个给定方向。的方向导数。怎么来定义？注意f在这一点沿给定方向的方向导数，这样来定义啊。所以这个地方呢？cos阿尔法cos贝塔应该是l方向的方向余弦。所以这段x 0+t cos阿尔法y 0+t cos贝塔应该是l方向上这一个点。用这点的函数值减去它在这点函数值，除以这个t。

但是注意这两点之间的距离是谁啊？实际上是t。就是l方向上一点值减去这一点值，除以这两点之间距离。然后让这个距离t取向零正。如果这个极限存在。我们把这个极限值定义为这个二元函数在x0y0这点沿l方向的方向导数。它能刻画什么？它能刻画这个二元函数，在这一点也给定方向的变化率。这就是方向导数。啊，大家要注意这个底项除的是这两点之间的距离啊，所以这个方向导数啊。这个地方出的是距离啊，

它是质量是大于零，它不可能是负的。好了，这个定义有了以后，现在一个问题来了，一个二元函数在这一点也给定方向，方向导数存在不存在。怎么判定？如果存在，等于什么？本来这个定义这两件事情都可以干。但是很不方便。那有没有其他的简单方法判定它是不是存在，如果存在有没有简单的计算方法？人们对这个问题呢，

做了进一步的研究，最后得到这样一个结论，注意，如果这个二元函数在那点上怎么样可？和v这个时候可以退出，它在这一点沿任何方向的方向导数都存在。并且呢，方向导数等于谁？就等于这一点的两个偏导数。分别乘上谁。这个l的方向余弦。啊可v就能保证这点沿任何方向的方向导数都存在，变成一个简单的计算公式，你不是算出两个偏导数分别成方向余弦的cosine f cosine。凭用这个定义判别计算方便多了。

但是这要注意。虽然说这个计算公式里边只用到这点，两个偏导数。那能不能说两个偏导数存在就任意方向，方向导数存在，并且有这个公式没有啊，一定是可为啊。两个偏导数存在，不能保证任意方向。方向导数存在，也不能保证有这个式子。所以这个条件一定要注意，就是可v1定能保证。好了，这个式子给我们解决了方向导数存在性的判定和方向导数的计算问题。