04.题型形心与变力做功的计算

罗泽兵

好，下面呢？我们也可以看一些例子啊，那这个时候呢，比如说计算行星变力做功等等。你还过去考过这样的题，这是二零一零年的考题，欧米伽是这个xyz，但是这个它是用不等式表示的。z大于等于x方。那首先，这种不等式表示，你先找z=x^2加y方。那我们知道这个呢，应该是一个旋转抛物面。

那这个是中心轴为z轴的，这样一个旋转抛物面。这是z等于它。但是x方加y方小于它呢，应该是这个的内部。那z=1是上面的一张平面，但这个z呢，是小于等于一。所以实际上我们就知道了。它就是由这个旋转抛物面和z=1所围成的这样一个空间体。那是要求这个空间体的行星的竖坐标，行星的z坐标。大家看，因为你这是空间体，所以算行星是用三重积法。

那么，行星的这个计算公式是谁呀？那上面就是z在这个上的三重积分。除以一在这个上的三重积法。然后完了以后，这两个三重积分怎么算？大家注意，这仅仅是z的一元函数。而这个区域，如果用z=z去截的话。那截出来是一个什么区域啊？是这样一个圆域。什么的源于就是x方加y方，小于等于z。这个圆的面积也好算。

所以根据这个三重积分特点，显然是采用先二后一，这个是一样的。那么先二后一啊，注意算下面这个先二后一。这个二重积分在哪里做？就是在这个截出来这个区域上做。那你在这个选项一积分，是不是就这个面积圆的面积等于派r方r方是z，所以里边二次方积分就派z。最后再对z做积分二分之派。同样的道理，算分子的时候也是先二后一。那么，你对xy做这个z是当常数里边呢圆的面积派z，

然后再乘这个地方z，这就是派z方。然后可以算出三分之派，这就算这两二重三重积分都用的是先二后一。然后把它带到上面，最后就可以得到这个行星的竖坐标或者z坐标等于三分之二。这是一个空间体的行星的计算。那下面呢，我们再来看二零零零年。它说有个半径为二的球体。p0是球的表面上的一个定点。然后球体上任意点的密度与该点到p零点距离的平方成正比。求球体的重心的位置，实际上重心也就是直心。那现在呢？

问题在于什么？你要计算那你这个球体得放到坐标系里面，你得建立坐标系，它没有具体给你这个球面方程。那这个时候呢，我们怎么来建立这个坐标系啊？就是这个球体放在这个坐标系里边。放在一个什么样的位置啊？那大家看它有一个东西就是。球体上任意点的密度与该点到p零点距离平方成正比。那这个p0放在哪里比较好？大家想这个p0如果放在这个坐标原点。那这个时候任何一点到坐标原点的距离平方表示就比较简单。但这个p0呢，是球面上一个点。

这个作为一个球面上这个点，那球面建立在哪里呢？那我们建立到这个地方啊，就是我们把这个球心放在谁啊？放在z轴上。那这样的话，代理主义它的半径是二，就这个地方是二。因为我们认为这样比较方便。这样的话，那这个球面的方程是谁？嘿，这是x这是y这是z。这样一个就是半径为二球心，在零零二二这样的偏心求面方程应该是它。

那好啦，这个时候呢，你要算谁呀？要重心的位置。中心位置呢，大家注意那这个呢，实际上大家注意根据对称性，我们可以知道这个重心一定是在谁呀z轴上。所以这个中心位置只要算它的z坐标。但是你得把这个密度表示出来，密度等于谁，那就是任何一个点，这假如说是xy。z那这个密度等于谁密度等于该点就这个点到p零点距离平方成正比。距离平方就是x方加y方加z方。

那这个入呢，就等于假如说系数是kk x方加y方加z方。这就是密度。那么，这样的话，大家注意，刚才根据对称性，我们知道，因为它的这个重心或者叫直心位置，应该在z轴上。所以x1滑，y1滑，也就是它正切的x坐标。y坐标等于0z呢。那这注意这个密度是它，

所以上面就是z×ud v，那就是k zx方加y方。对象呢，就是入DV。那这就只要算这两个三重积分就可以了。大家看，根据这个倍积函数x方加y方加z方以及这个偏心的球体。那显然用谁啊？求坐标比较方便。所以呢，我们分子分母这两个积分都用求坐标。然后这个呢，我们来看这个，我们先算下面这个。因为这的常数k跟这的常数k，

这就消掉了，先算下面这个，我们用求坐标。那这的话，这个就是谁？这个就是二平方。体积为圆呢，有个r方s in派，所以这就是r次方s in派。然后完了以后呢，注意sita啊，那在这儿呢，注意我们为了方便啊，那你看。由于这个时候呢，

这个被这函数。它呢，应该既是x偶函数，也是y的偶函数，而我们这个球体关于yo z。前后，关于x oz左右都对称。所以呢，它就应该等于四倍的，它在第一挂线的积分。那么，在d框下的话，这个西塔就是零二分之派。f角呢？因为这个球体在上面，

所以它是零到二分之派。然后呢？这个rr是从哪到哪r呢？是从原点出发，引一个射线。那这个呢？是从这进这的r就等于零，从球面上出。那这个求命方程呢？我们把它改写一下左边呢，这个就是二平方右边呢二二z。z等于谁二乘上cosine。那么，这样一消的话，这个r就等于谁2 rcosine，

所以这一点的r就等于它。所以你看这就是二二cosine。然后把它化成累次积分，经过计算可以得到十五分之三十二派二五次方。这是下面这个。上面那个呢？就那个地方多一个谁啊？多一个z。计算的方法是完全一样的，多一个z那就里边多一个谁啊，我们知道z等于谁？等于这个rcosinephi，所以这个地方你看就比上面这块多一个rcosinephi定线完全一样。那最后呢，可以算出分子上这个积分等于它，

然后两个一除，那这个时候呢，这个重心。或者叫直心位置就确定下来了。这就是二零零零年的一道考题，它是要算一个偏心的啊，就是要算一个球体的重心的位置。但这个要第一，要建立坐标系。然后第二呢，带这个重心或者直线的计算公式计算就可以了，最后归结为算。三重积分。这的三重积分适合用谁呀？求坐标。

好，下面呢？我们再来看一九九零年的一道考题，那这个呢？是算什么？它说p。沿着以AB为直径的半圆周，你看这是a，这是b。p是沿着这个半圆周，你看这是p点啊。p沿着以a并半圆周从这个大a就是这个一二这样子到b谁呀？三四过程中。受到一个力。啊，

这个力呢，你看f在这如图表示这是个力。f的大小等于谁呀？p与原点之间的距离。就是说这是个向量，那它的模呢？就等于这个r的模。然后呢，这是告诉模那另外呢，要告诉它的方向，其方向与OP。是垂直的。且与y轴正向夹角小于二分之派。求这个便利，对值点所做的功。

这是个便利做工问题。但是呢，这的核心问题是谁啊？你得把这个表示出来。啊，这个力这是平面上的一个力，你得把这个力表示出来，力一旦知道它沿这个做功就是个二型线积分。它这个例如何表示呢啊？大家注意，你看注意这两个的模是一样的。那大家注意这个呢点是xy。那如何表示这个定义呢？好，我们在这看啊，

我们在这过这个点做。y轴的平行线。然后呢？过这个地方呢？也做x轴的平行线，相当于把这个x轴y轴平移一下。现在来看啊。这个力如何表示？那首先大家注意，就这个模和这个模是一样的。那它呢？它的y坐标就是它在y轴上的投影。那大家注意，你看这个角。因为跟这个角。

它俩是相等的，因为这个角的两个边和这角的两边两两垂直，你看它跟它垂直。它跟它垂直。并且注意这两个模是一样的。所以你看它在y轴上的投影，是不跟它在x轴上的投影是一样的。但是它在x轴上的投影是谁啊x？那么，它在y轴上投影跟它一样，所以它在y轴上投影是x那，所以这个力的y坐标。就是x然后呢？再来看这个力的x坐标，那么它的x坐标的话，

大家注意是。是要这个往x轴上投影。那这个时候呢，要注意了，往x轴上投影，那是要看它跟x轴的正向的夹角，注意它跟x正向夹角是这个角。然后呢，我们再做一下这样一个角，就这个角。诶，那你现在看一下啊，你看。这个就是这个边和这个边垂直这个边呢，和这个边垂直。

那么这个时候呢，这个角和这个角就不是相等。实际上，这个角等于谁？等于这个角。那么所以呢，它就是一个派减的关系。那大家注意，这个在y轴上的这个向当在y轴上的投影。这个应该是y。那这个时候呢，它如果往x轴上投影，这个跟x轴方向相反，所以应该因为它俩模有一样。它是不是应该等于这个y要加一个谁负号？

那它是往x轴上投影，这就说明它的这个坐标就是负y。所以这第一步关键是要把这个力要跟用这个点的坐标，把它表示出来。所以这是一个关键，所以你看我们写出这个例是谁啊？负yi+x的j。一旦这个力有了，那么这个沿着这个曲线的这个做的功就是给线积分。那就是负y dx xd的y。最后就归结为算这个上的曲线积分是个二型线积分ua到b。然后完了以后我们来看怎么算？这曲线不封闭。那么一种办法就写参数方程代进去化定积分。那大家注意这个呢，

是个偏心的圆圆心，在这个地方，那所以呢，我们可以写它的参数方程。这个圆心的x坐标。那应该是二就一+3÷2y坐标就是二+4÷2，那就是三。所以呢，这样一个原参数方程。可以这样写，就是x=2加根号2 cos西塔y=2加根号2s in西塔。这个圆弧那么确定它的西塔的范围，那么西塔范围呢？是负四分之三派，因为你要这样看。

因为它这样做，相当于把起点移到了圆心。那极点一到圆心的话，那这个时候呢？这儿呢是y轴，这儿呢是x轴，那这个西塔呢？应该从这儿转上去，这儿是四分之派。这就是负的四分之三派。然后把它带进去。化成一个谁定积分。最后进行计算就可以得到这个积分的值。那么这个题呢？还有什么办法呢？

实际上就是化成这个一个二型线接分以后具体。除过这样直接法，还有什么？这里它这个曲线不封闭。那就不能用格林，但是我们可以不限用格林啊。所以你看这样子，这个功等于它那这个呢？我们给它加一段啊，就是你本来是这一段，我把这一段补上，给你加一个BA的积分。再减一个BA次方。那这个时候呢，这个就是个封闭曲线，

它在这个上就可以用谁啊？格林公式。格力公式呢，是底y前面系数对谁啊x求，这就是一减去底x前面系数对y负一。一减负一身上就变成二。那么最后呢，是算这个二重二在这个上做二重，是不是就等于二乘上这个半圆的面积？然后呢？后面这一段我们就直接算。那么直接算的话，需要把这个谁啊？这个直线方程写出来啊，就是y=yx这个直线方程写出来。

那么，写出来以后呢？然后我们把它这个地方的谁啊？就是在算的时候把这的y。用这个直线方程代进去，最后就化成x的定积分。然后这个计算要比刚才那个要来的更简单。当然，这个问题呢，就关键是两点一个就是你得会把这个力表示出来，第二知道这个力沿这个曲线的，哎，这个力。当然是值得一个这样一个动力，沿这个曲线所做的功，

那应该等于这个利这样一个向量值函数的相应的一个二型线积分。这就是便利做工问题，我们数学一的卷子，这种便利做功的问题啊，这几十年一共考过两次。所以这个要会。这是关于多元积分的应用。