03.题型第一类面积分的计算

罗泽兵

那再下来呢，我们来看常考的题型与典型的例题。好比如说这个对面积方呢，常考题型实际上就是两类面积方的计算。在这呢，我们看一些例子，比如说第一类面积分，或者叫第一型的计算，你看像这类题。他说这个s是谁呀？x方加y方加z方等于a方z大于等于零。那大家知道这实际上是一个谁呀？是一个上半球面啊，就是中心在坐标原点。半径为a的这样一个上半球面。

啊，这呢是x这是y这是z这是谁这是ss是300求变。但是呢，这还有一个谁s1s1是谁s1是它在第一挂线的部分。也就是上半球面的四分之一，所以这个s一呢？就是它在第一卦线这部分。啊，就这一部分记做谁啊？记做这个地方的s1。然后完了以后呢，他说诶s这个x的上半球面的积分等于四倍的，这个x在第一段线的这个积分。这个对不对？我们先从这个角度看。

大家注意，你看这个呢，是x的奇函数。那要求曲面要关于yo z前后对称，前后确实对称，它又是x奇函数，那我们立马知道这个是等于零的。但这个肯定不等于零。嗯，这个呢，是不是等于零？这个不等于零，因为在第一划线这块面上。那这个x=0，只有在这条线上，

其他地方不等于零，所以这个肯定是大于零。一个大于零，一个大于零，质量怎么能相等？不可能相等。但是呢，你想想你要把这个东西要画到这个第一挂线。那这个要求这个曲面是前后对称，左右对称，前后对称，它必须是x偶函数。但是它是x奇函数左右对称，它必须是y的偶函数，它确实是y的偶函数，

但它不是x的偶函数。如果它既是y的偶函数，既是x偶函数，这个就对了。好看这个这个是一样的错误啊，那大家注意这个呢，等于零，因为它关于x oz面是左右对称。它又是y的奇函数，这个等于零。刚才说啦，这个是不等于零，这个是大于零，一个等于零，一个大于零，

这个肯定不相等。然后大家再看下面，下面呢，这是z的积分，它说等于四倍的，这个x的积分。我们可以先看这个。这个呢，大家注意，因为它呢是x的奇函数。这个曲面也关于yo z前后对称，所以这边呢是等于零的。但这边呢，在第一划线的时候x×y×z这是在边界上等于零，里面都是大于零，

所以这个也应该大于零，一个大于零，一个大于零，这个肯定是不对。这三个不对，这个肯定对，但这个为什么对呢？大家注意这个z呢，它既是x的偶函数，也是y的偶函数。而我这个面呢，关于yo z前后是对称，左右也对称，所以这个呢，本来应该等于四倍的谁啊？

然后s1z ts。啊，它本来是等于四倍的它。但是这个时候呢，大家注意在这个第一挂线这个四分之一球面上。大家想你要算单独算x跟单独算z。这个值是不是应该是一样的，这就是一种变量的对称性，这个是用奇偶性，但是它俩相等是变量对称性。那所以正确的选项就应该是它。那你注意这个里边主要考了两个东西，一个是奇偶性的正确使用，还有一个就是变量的对称性。好，

这是一个一型的面积分。那下面呢，我们再来看这样一个题目，这个呢，是二零一二年的一道考题。他说，这个sigma是谁啊？xy这样的是谁？是x+y+z=1 x大于等于0y大于等于0z大于等于零。实际上，我们知道哦，这是第一卦线的一块平面。大家注意这个平面呢，它的三个坐标轴上的截距显然都是谁啊？都是一。

所以这个曲面sigma，它应该是这个三角形的平面。那这个时候呢，要算这个异形面积分，那我们就可以直接画二重积分，那怎么画呢？我们可以把它画成。在这个x oy面上，这个投影域上的二重积分。那这个投影域，这个边界曲线应该是x+y=1和两个坐标轴围成的三角形区域。那注意，既然是要化成对xy的乘积分，这地方如果有z的话。就要用z=1-x-y代进去，

它没有z就不用代，关键是要算这个ds。ds等于谁啊？根号底下一+zx平方，再加上谁zy平方dx dy？大家看z对x，实际上你把这个移过来的话，这个方程可以写成z=1-x-y。zx=- 1负一平方正1 zy负一，那这等于谁？这就等于根号三。dx dy.所以你看我们在算的时候啊，这个根号三是谁根号三就这个ds就等于根号3 dxty。y平方那这个d是谁d就是它在xy面上投影区域，

那就是这个地方，这个三角形。这样子就把它化成这个三角形域上的一个二重。那这个二重呢？我们用先x后y直接画累次积分。那最后等于YY呢，就是最小到最大零到一，那现在xx呢？做平行x轴的射线，它从零到这的x。这段x等于谁一减y啊？这就是计算一型面积分最基本的方法，直接法就是化成二重积分进行计算。好，下面呢？

我们再来看例三，这是一九九五年我们数学一卷的考题。要计算这个zd s sigma是谁？sigma为锥面。是锥面上，但是又是在这个柱面内部的那一部分。那这个具体呢？搞清楚它是谁呀？它是锥面上的，那我们知道锥面这个是表示这个上半锥面。啊，应该是这样一个面啊，这是一个上半锥面，是锥面上的啊，那这个这儿是x。

这是y，这是z，这边的方程是它这边上哪一部分呢？是含在这个内部的。大家注意，这儿呢，是一个偏心的，这样一个柱。所以呢，是锥面上哪一部分，那就是包含在这个偏心柱面内部的那部分。那么，大家想这个呢？在整个这个锥面上应该是有。大概是这个样子。

啊，就是这一块儿。就是包含在这个是锥面上的，但是是包含在这个重面内部的那一部分。那好啦，这个时候呢，要计算，那我们仍然把它画成，因为这个部分在投影。应该是下面这个偏心圆域。那这个时候呢，我们把它化成它少的二重积分，这个地方的z。因为你是沿着锥面做，就要用这个根号x方加y方代进去。

然后呢？那个ds这个就得要算啊，你看。这个时候，投影域是它ds等于谁啊？就等于根号一+zx^2，再加zy方d sigma等于根号2d sigma。这是为什么呢？实际上大家注意。这个ds等于根号底下。一，加zx平方。大家注意，这个zx对x求撇的二根号二分之二x二跟二一消它一平方。上面是不就是x平方，

底下就是x平方加y方？而这对y呢？二根号分之2y二跟二一相一平方，那这儿就加上一个谁x方加y方分之y方？然后dx dy。那么大家看这俩一加是一，所以这个最后就等于谁根号2 dx dy。所以这个面积为圆就是它，然后呢，把它带进去啊，这个时候这个z呢，就用曲面方程带进去。ds.就用根号2d sigma代进去，这就化成二重，

这个d是谁？就是刚才这个曲面块在xy面上投影。那它的X光面投影就是这个圆偏行的圆域。然后算这个偏行圆域上的二重积分，那当然很适合用极坐标。把它化成极坐标下的累次积分，然后进行计算就可以了。所以实际上对我们来讲，关键就这个转化，把面积方化成二重二重，我们在前面呢，已经讲了计算的基本的方法。啊，那这就是这样一道题目。