02.知识对坐标的面积分（第二类面积分）

罗泽兵

下面呢，我们来看二型面积分也叫做对坐标的面积分，或者叫第二类面积分。那它呢，也是一个三元函数，沿着一个曲面的面积分。注意，这写的是dx dy。那么，注意这个二型面积分呢？曲面是有方向的。那大家可能是问了，说那个曲面的方向是指的什么啊？那曲面的方向就是用法线方向来表示。那也可以叫做曲面的侧。

那么，大家注意，如果这个曲面呢？法线方向取的是朝上。那我们就认为是在上侧做，如果法线向方向朝下，我们就认为在下侧做，所以这个曲面的方向可以。可以用这个侧表示，也可以用法线向量来表示注意，我们这是一个有向曲面。那这样一个三元函数，沿这个有效曲面这个积分怎么定义呢？大家注意，仍然是划分成n个小块儿。

然后呢，做一个合适的极限，这个时候注意。那这个地方的这个作为一个代表，这是第二个小块。跟一型一样，也在这个地方找一点啊，那就是可cie台c台算出这个函数在内的的函数值。那么e形的话，乘什么e形呢？它是乘这个小曲面块的面积，我们这乘谁呀？这个是德尔塔xixy，这个表示什么？这表示这个曲面在xy面上，

这个有向曲面块。在下面的投影。啊，这个投影等于什么？大家注意这个投影呢？它是个数。如果你在上侧做，那这个投影就等于它投影下面去以后那个投影域的谁啊面积？如果你是在下侧做，那么这个时候呢，这个投影它就等于这个投影域的面积加谁啊？加符号。所以这个二型面积分啊，它是一个三元函数，沿有向曲面的积分e型呢，

是函数值乘面积，它跟方向没关系。二型呢，这样写dx dy，它是函数值乘这个有向曲面块在xy面上的，这个有向曲面块在下面的投影。而这个有效曲面块在下面的投影，它是个数，它是可正可负的。如果朝上，那它就等于下面这个区域的面积。如果呢，是朝下，它就等于下面去去面积要加负号。这就是二型面积分和一型面积分不同的地方。

那你注意，这是dx dy。那这是就是有向曲面块在xy面上的投影，你这样是dz。dx呢？那后面乘的就是右向曲面块，在x oz面上的投影，这是完全对应的。这就是二型面积分的定义。那我们写二型面积分的时候啊，一般呢，就是三项都有，我们刚才讲的时候只是以它为例。那这两个的话，那这个就是有向曲面块在x oz面上投影，

那这个呢？就是有向曲面块在yo z面上的投影。根据我们刚才的这个分析，这个注意曲面如果改变方向，那它在相应的那个曲面上那个。投影就这个有向曲面块在相应面上的投影，正好要差一个符号。所以这就是二形面积分跟异形面积分的本质的区别，对二形面积分改变曲面的方向。七分之要差一个符号二的一型呢。大改变方向值不变，因为它是函数值乘面积。好，这是关于性质。那再下来呢就是。

它的计算。那我们一项一项看啊，直接法，比如说这个曲面呢，可以用这样的方程来表示。就是z=zxy。那这个呢dx y也就是这个曲面块在xy面上的投影区域。对于这样的项，就是这是dx dy的项，我们曲面要z能够用xy表示出来。由于你沿着曲面做，那所以这个xyz这个点它就是取在曲面上，所以这个z呢？就用曲面方程代进去。最后呢，

就把它化成了一个二重积分。那么，化成二重积分以后，这个积分域是谁啊？这个积分域就是这个有向曲面块在xy面上的投影。啊，那这个时候呢？注意啊，假如说我们这个有向曲面块，是这个曲面块。啊，这是我们的有向曲面块sigma。然后呢？这个它在下面的投影域啊，这个呢？

就在这儿呢，记做谁啊？这个就是上面曲面块在下面投影，这就记作d的谁啊xy？然后呢？就是它把这样一个dx dy的，这样一个二型面积分，最后化为这个投影域上的二重积分。其中这个时候注意这儿的z呢，就用曲面方程代进去。画好以后，前面有个正负号，那正负号怎么选呢？那就是上侧就为正。下册如果做，

那就为负那为什么呢？因为我们刚才说了，如果你是在上册做的话。那这个时候它应该是函数值乘上。这个小曲面块在下面的投影投影正好就是面积。如果你在下侧做。咳。这个dx dy那就在下面，这个投影就等于面积加符号。所以呢，画成二层积分以后，那到底取正号还是取负号？就是你这个曲面积分。是在上侧做，还是在下侧做？

对这个dx dy对象上侧为正，下侧为负。这是x，这是y，这是z，也就是说，对于这个地方的dx dy的这种项，最后是要化成对xy的冲积分。那当然，曲面要能写成z=zxy。那这个时候呢，大家注意，如果我这个面sigma。那我这个面呢sigma是这样的面，你这个不是要往下面投影吗？

那假如说我sigma是x等于常数的面？但是注意x等于常数意味着什么，它是垂直于z轴的平面。那么，大家想这个垂直于z轴的平面，它往下面一投影就是一条线，那投影与但它那个一个小块区域在下面的投影。那这个线的面积是零啊？所以这个时候啊，这个积分就等于谁积分，如果用I表示的话，这个积分一定等于零。啊，就是说这样的积分，如果沿着x等于常数。

x等于常数，刚才说了，它就是垂直于x轴的平面，同样下去一条线。那这个线的面积是零，所以这个阶段就等于零。那同样的道理，如果你这个面呢，是y等于常数。但是注意外等长数就垂直于外轴的平面，垂直于外轴的平面，你投影下去以后，那这个时候呢，它也是一条线。那所以这个时候呢I也等于零。

当然这两个节呢，也可以从另外一个角度去理解，就是如果我们这个曲面呢？是x，等于常数。那注意，这有dex，那这个呢？就等于零。那如果呢？曲面是y等于常数，因为这有dy在y等于常数，这个面上积分就等于零，这是个基本的知识点，我们后面经常会用到。

好，下面呢？我们再来看。这就是完全对应的，那就是曲面可以用yz来表示，那这个时候就计算这个dy dz的这种。那就需要把这个地方的x用yz表示出来。然后完了以后大家注意，既然x用yz表示出来，你又是沿曲面做，那就是把这的x。用这个xyz代进去，最后就化成yz的乘积分。那这个化成yz的乘积分，实际上就是化成yo z面上的这个乘积分，

这是x这是y。这儿呢是z那就化成在yo z面上的一个冲积分，其中这个dy z是谁？那就是你这个曲面块在yo z面上的投影。然后完了以后正负号怎么选？那这个时候既然是化成yo z，那这个时候是前侧。为正而后侧为负，因为是往yo z面上投影，所以如果是在前侧做，就是正后侧做，那就是负。那另外一个，如果曲面能够写成y=yzx，把y用zx表示出来。

那你注意要算这种，这是dz dx的面积分曲面就得把y用zx表示出来。然后完了以后呢，把这个y用yzx这个方程代进去，最后就化成xz的乘积方。那这个区域是谁？这个区域就是这个曲面块，在这个x oz面上的投影区域。正负号如何选呢？是往x oz边上投影，这个时候是右侧为正啊，大家注意。这个是右侧为正，左侧取谁啊？取负。

那么，这样的话，你看我们分三项，因为我们一般这个就是完整的，这样的二型面积分这三项都有。那这个就是分别算把它化成二重积分。这就叫二型面积分计算的直接法。这个计算公式也反映了二型面积分跟一型面积分本质区别，它跟方向有关系，你看它每个化成二重积分，前面都有个正负号的选取。就是因为方向一变。七分之一要差一个符号。这是第一个基本方法。第二个方法是什么？

就是叫高斯公式。那高斯公式呢？它是把一个封闭曲面外侧的这样一个二型面积分。和这个封闭曲面sigma所围成这个区域v上的三重积分，建立一个关系。那就是你看pdydzq dz dx rdx dy这呢，沿着这个分类曲面外侧的面积分。好，它把这个围城区域做做欧米伽。啊，那么最后呢？就化成这个封闭曲面所围成这个空间体上三重积分，被积函数是谁？dy dz前面的系数对谁求偏导，对x求偏导dz dx前面系数对y求偏导。

而dx dy层面是对z求偏导。它就是建立一个封闭曲面外侧的二型面积分，跟这个曲面所围成区域上空间体的三重积分的关系。实际上，它是跟我们前面那个曲线阶段里边的格林公式是完全类似的结论。格列公式是建立一个平面封闭曲线的现积分和这个封闭曲线所围成区域上二重积分的关系。好，这是第二个计算方法。那么，如果曲面不封闭，而用第一个直接法算又很麻烦，那这个时候还有什么办法？还有一个就常用的叫不面用高斯公式，也就说你本来是让我算这个曲面上的面积分。这是个sigma曲面不封闭，

直径算也不方便，但又不能用高斯公式，那怎么办？那我可以补一个面。啊，补个s假如说你这个是上册，我这就补下册，整个是不是就构成了封闭曲面的外侧？然后完了以后呢，算这个面积分的时候，我加上这个上的积分就得减这个上积分。而这个时候呢，它俩加在一起是封闭曲面就可以用高斯，那实际上最后就是这个封闭，整个封闭曲线曲面用高斯。

减去下面补的这个面上积分，这就叫补面，用高斯公式。所以我们计算这个二型面积方常用三个方法第一。直接法就化为二重积分算第二高斯公式，但曲面必须封闭，第三曲面不封闭。直接算不方便，又不能直接用高斯，所以这个时候就不灭用高斯。这就是二型面积分计算常用的三大方法。下面呢，我们再来看两类面积分的联系。但是注意这个右端呢，你看是个二形面积方左边呢，

是个一形面积方。那大家注意dy dz就等于谁cos阿尔法乘ds。那这个dz dx就等于cos贝塔乘dsd xd y就等于cos伽马ds。但是这个时候注意cosine的阿尔法。cosine的贝塔，cosine的伽马是谁？是这样一个有向曲面块在这个点处的法线向量的方向余弦。啊，它是曲面有向曲面在这一点法线向量的方向余弦，这就是两类面积分的联系。那这是关于曲面积分啊，是有两种，一个第一型，一个第二型啊，有概念，

有性质，有计算。然后这儿呢，是把两者联系起来啊，这个题呢，有时候会用到。