01.知识对面积的面积分（第一类面积分）

罗泽兵

各位同学大家好，今天是我们高等数学基础班的最后一次课。我们的内容是在我们讲义的198页到208页。那内容主要包括曲面积分计算举例，多元积分的应用包括质量。纸芯行星转动惯量便利做工还有场论初步，那这个里边呢？主要是关于散度和悬度。好，下面呢，我们就来看具体的内容。首先我们来看曲面积分。曲面积分呢，有两种，首先我们来复习，

第一种就是对面积的面积分，或者叫d类面积分，也叫做d型面积分。它呢，是一个三元函数fxyz，沿着一个空间曲面sigma的积分。那在这呢，我们定义的时候仍然是这样一个合适的极限。假如说这个呢，是一个曲面sigma。那这样一个三元函数，沿这个曲面的面积分怎么定义呢？就是首先把这个曲面呢？划分成若干块。那在这个上面呢，

找一个代表，比如说第二个小块。那假如说这个呢，是第二个小块，然后呢，注意在第二个小块上任意取一个点。那就是叫做可cie塔IC塔I算出这一点的函数值。f可塞一塔2c塔二。然后呢？再乘上谁呀？这个德尔塔si德尔塔si表示谁呀？就表示这个第二个小块儿的谁呀？面积每一个小块上用一点的函数值乘上这个小块的面积。然后把每个小块上函数这层面积加起来。最后取极限。

这个兰姆达呢，表示谁啊？表示这个第二个小曲边块直径的最大值。如果这个null大趋向零的时候，这个和是的极限。跟这个曲面的分法和点的区法没关系，那这个时候把这个极限值就定义为这个三元函数。沿这个曲面的叫做对面积的面积分，是因为这个地方是函数值乘上面积。那由这个呢，可以看出，既然它每一项都是函数值乘小块的面积。那这个面积方跟曲面的方向没关系，那我们知道因为曲面的面积跟方向没关系，瞧到这一点。

主要是为了强调我们第一类面积分跟第二类面积分的本质的区别。所以我们在性质里边特别强调一下。就是同样一个函数，沿着sigma积分和沿着负sigma负sigma就是它方向变一下，这个值是不变的。那下面呢，就是如何来计算这样一个面积分呢啊，在这呢，我们是这样一个方法第一。就是叫直接法。那假如说这个曲面可以用这个方程来表示z=zxy，而xy属于d。那么，这样的话，它可以把这样一个异形面积分化成这个d上的一个谁啊二重积分？

啊，实际上是这样子，假如说。这个曲面sigma啊，我们放在这个三维空间里边来看啊，假如说这个曲面sigma呢，是这样一张曲面。啊，这假如说就是我们的曲面sigma。那这个三角函数沿着这个曲面的这个面积分，最后可以化成谁啊？化成这个d上的一个二重积分，这d是谁？实际上，在这个几何上看的话。

这个d就是这个曲面块在xy面上的谁啊？一个投影区。d它呢，实际上就是把这样一个异形面积分化成这个xy面上那个投影域上的二重积分。如何画呢？由于你这个点是取在曲面上。所以这个z呢，就可以拿曲面方程代进去。然后完了以后呢，这儿的ds我们叫面积位远。用这个式子代进去根号一+zx^2，再加zy方d sigma。那这个时候呢，就把原来的面积分化成这个区域d上，也就是xy面那个投影域上的一个二重积分。

最后算这个二重积分，就把这个异形面积分值就算出来了。但是这个地方要注意，我们刚才是假设曲面能用这种方程表示。但是注意不是所有的曲面都能用这样的方程来表示。那你比如说这个x平方加y平方等于一。那我们知道这个是中心轴为z轴的，这样一个柱面。那你这个就无法用z=zxy来表示啊。那所以呢，这时候就要注意了，如果。我们这个曲面呢，不能用这种方程表示，那也可以做，

就是假如说能够用y=y谁啊？xz来表示。那这个时候注意代掉的应该是谁代掉的？应该是这的y。那么这个时候呢，这个ds就不是这个啦，那ds等于谁就等于根号底下谁啊？一+y对x。偏导数的平方，再加上y对cz的偏导数的平方。这儿的d sigma实际上就是dx DC。那么最后呢，就把它化成这个关于xz的二重积分，那当然这个d也就是这个曲面块在x oz面上的投影区域。那同样的道理，

如果曲面能够写成x=xyz的形式。那一样的道理也可以把它化成关于yz的二乘积分。这就是第一种计算方法，那是把它化二重进行计算。还有什么方法呢？还有就是利用奇偶性。那么在这儿呢，大家注意，它是要求这个空间曲面关于坐标面有对称性，那他说如果这个曲面sigma关于XO。外面上下是对称的啊，假如说有一个曲面，它是关于xy面是上下对称的。啊，这么上下对称的这样一个曲面，

这是x这是y这是z。所以这个时候就要求函数关于谁呀，关于z有就行。你看如果呢？它关于z是奇函数，就是这个z用负z代代号查符号，那这个基本值就等于零。如果关于z呢是偶函数，它就等于上面这一半积分的2倍二倍，上面这一半怎么表示啊sigma？下面写个z大于等于零。这是曲面关于x oz面上下对称要求函数关于z就行，那大家想，如果你的曲面关于x oz左右对称。那要求函数就关于y要有奇偶性。

如果你的曲面是关于yo z前后对称。那就函数关于x有奇偶性。这是利用奇偶性。再下来一个呢，就是利用对称性，什么叫做利用对称性，我们举个例子，大家就能体会，比如说我们的sigma是谁啊？sigma是x平方加y平方加z平方等于一，这个单位求面。然后呢？要让你算这样的面积方sigma，这是x方加y方，然后ds。

大家看这个呢，你要用我们刚才前面那个画二重可以，但是就有点麻烦。那怎么样比较方便呢？大家想如果这儿呢是x方加y方加z方，那就好算。因为你沿着这个面做x方加y方加z方，把一可以带进去。但是这不是呀。那这个时候呢，自然想那就是这个面积分好算呀x平方加y平方加z方这个好算。那这个跟原来积分有什么关系呀？大家注意，在这个球面里边，它有很好的对称性。

也就是说，你看xyz三个变量，随便哪两个一交换方程不变？那这样的话，大家想在这个球面上单独算这三项积分。都应该是相等的。既然是相等的，大家注意这三项，人家只有两项，如果我除个三分之一，相当于只有一项。但是人家是两项呀，来个二这俩不是就相等了吗？啊，这一步主要用的是什么？

这一步就是用的是变量的对称性。它给我们就带来了方便，为什么方便？因为我们是沿着这个球面做。所以你这个点就取在球面上啊，可以带进去啊。那么，大家注意，这一代就变成谁啊？那这个就等于三分之二的，然后。sigma 1积分。一沿着这个曲面积中就等于这个曲面的面积，这是个球面，那球面面积呢？

应该等于大圆面积的4倍。四派二方二等于一，所以就四派，那最后呢？就等于三分之八派。大家注意这个计算呢，就这一步非常关键，那这就叫做利用变量对称性。所以我们在计算这个异形面积分的时候啊，比较常用的方法就这三个，一个是化为二重，直接算一个是奇偶性。一个呢，利用变量对称性。这就是关于一型面积分的基本内容。