04.题型第二类线积分的计算

罗泽兵

好，下面我们来看第二类曲线基本。那第二类曲线积分的计算，那我们来看像这个题，这是二零零四年的题目。那他说这个l是谁啊？l是正向的圆周。在第一象限的部分。啊，那实际上呢？是谁啊？这是一个这样一个弧段啊，你看这是x轴，这是y轴。那它的第一象限呢，

就是这样一段。正向那这个方向好，问题清楚了，则这个曲线积分等于什么？那我们说拿到一个二线下阶段算的，一个时候选择方法的一个基本程序是封闭不封闭。这显然就不封闭，封闭就隔离不封闭呢，看是否与路径无关。它是不是与路径无关？那要看底y前面系数对x，这求导是一呀底x前面系数对y是负二，它不是与路径无关。那不是与路径无关，那这个时候怎么算？

要么就直接算，要么补现用格林。所以我们首先看直接算好算不好算啊啊，我们说直接算，你看它是圆。圆的话，那我们参数方程好好写，所以我们直接算我们就写参数方程。大家看这个x等于谁，就等于根号2 cosine的t。那这个y呢，就等于根号二的s in的t。那这样的话，我们就可以得到原式，就等于谁代进去。

大家看这个x呢，就等于谁根号2 cosine的tdy。dy就是这个对t求导，然后再dt。大家看这个对t求导的话，根号2 cosine t那跟这一乘的话，实际上就是它的平方。然后呢？再加上啊，减去减去一个，谁减去一个二倍的y2倍的y就是二根号二的。s in的t。然后还有一个dx dx呢，它这个地方就应该是负根号2 sint。那这儿的负号跟负号一乘是加又一个根号二，

这是平方，这是s in的平方t。那么，这样子的话，就把它画成一个啊，那我们把这个地方像这写的是方括号，那这呢？圆括号加方括号啊，这个地方这样写。但是我们把这个地方呢？这个先写成圆括号，然后再来方括号。完了以后呢t从哪到哪，因为这是二型，一定是起点参数到终点参数。

大家注意这一点。这一代的t应该等于谁啊？这一代t应该是零那么这个呢？应该是谁二分之派？最后呢，就归结为算这个积分啊，零二分之派，零二分之派呢，实际上大家注意，你看这就写成。零二分之派。然后这是谁？这平方这个地方是二倍的cos平方t。然后这个地方呢，大家看这个根号二一平方二，

这实际上是加上谁四倍的？s in平方t，然后dt。但是注意，这是零二分之派积分，零二分之派我们知道cosine方跟sine方是一样的。所以最后就等于六倍的谁呀？零二分之派。s in的平方体d的体。然后这个利用我们零二分之派si nen次方的公式，这是六乘上谁，因为二是偶数，所以这就是二分之一再乘谁。二分之派，所以最后大家看就应该是二分之三派。

这就是用的是谁啊？用的是直接法啊，就是写出曲线的参数方程代进去直接算，这就是一种基本功。还有什么方法可以用呢？那我们说对它也可以，怎么样补线用格林？如果这个叫做解法一的话。那么像这个的话，那因为曲线不封闭，那我们这个地方呢，也可以补线用格林补线用格林的话，大家注意要补谁呀？要补这一段。这个方向还要补这一段，

那才能构成封闭曲线。如果我们把这段叫做l1，这段叫做谁l2，那就应该这样写，就是原式。就等于谁？分别曲线，分别曲线是l+l一，再加l2。但是你得减去。l1上的积方再减去谁l2上的积方？然后完了以后呢，这部分我们就可以用格林这个d就是你们三个围成的四分之一圆。被这函数。dy层面系数对x。

那这一求导是一减去dx前面系数对y，那这个时候是负二减负二等于加上。正二，然后dex dy。这用的是格林。然后大家注意l1l1的方程是谁x=0。既然是x=0，那dx这一项没了，那这一项呢？x又等于零，所以这个减的是谁啊？l1上的积分是零。然后呢，再来看l2l2的方程是谁y=0？那dy这一项没了，

那这一项呢？因为y=0，这项也没了，所以这项也等于零，那最后就等于谁？三乘上谁乘上这个面积？那这是一个圆圆的面积，等于派r方，本来是二派，但是呢，它是四分之一。所以是四分之二派。那这样消一个二，最后照样可以得到二分之三派。实际上你看这个是直接算这个，

后面这个解法二是补线。然后格林。两个方法都比较简单，那所以这呢也是属于基本功啊，那你看这是解法二就是可以直接算，也可以补线用格林算。好，我们再来看。这是二零一零年啊，我们卷子的一道考题，考这类题目。他说l是什么？是y=1-x绝对值x是在负一到正一。起点是它的，它则这个曲线积分等于什么？

那注意，首先我们看曲线封闭不封闭，因为封闭我们就考虑格林不封闭，那我们看是否与路径无关。那这个曲线呢，实际上是有两段啊，那么一段呢，就是x如果是在负一零之间。那它就是谁呀？它就是y=1+x。如果x在零一之间，它就是一减x，实际上呢，我们画一下，你看它应该是什么？

那大家注意x在负一到零的时候是一+x，你看x=0 y等于谁？1 y=0 x等于谁负一？那这个呢，就是y=1-x，这是负一。然后呢？零到一这段的时候是一减xx等于零y等于一y等于零x等于一。所以这是这一段，这一段呢？是y等于。好，抱歉，这是加啊。这边呢，

是y等于一减x就零一之间是一减x。那大家注意它这个曲线是谁啊？它这曲线是这样子啊，你看。是这个曲线，但是是从哪负一零到一零？所以呢，它整个就是这两段。啊，就是这两段曲线这个呢，是起点，这个是终点，所以它是这样一个方向。那就清楚了，它这个积分曲线是两段直线，

不分比。那格林不好用，那这个时候呢，是否与路径无关，那要看dx n面系数对外。求偏导时xdx MA是对y2x，它不是与路径无关。如果不是与路径无关，那这个时候要么直接算，要么补线隔零。所以我们先来看，直接算。由于两段上方程都不一样，要直接算那得分两段。首先，

我们来看l1上的七分。l1上的l1的方程是谁？y=1-x。那就把这个地方y包括底y这这个都用一减x代进去。那这样一代的话，大家看。这呢，就是x乘上啊，这是一+x啊，用这个一+x代进去dy。那就等于dx。在这一段上呢，注意它的起点的x是负一。中点x是零，所以对这个二型线阶方算的时候一定是起点参数到终点参数。

这就把这一段上算出来。然后呢？算下面这一段，那就是右边这个，那就是用这个一减x把它代进去。这就是分l1和l2分别代进去，用直接法算。那注意这个等于六分之一，那个等于负六分之一，然后一加等于谁啊零？这是直接算。那还有什么办法呢？还有当然可以用谁呀？补线用格林。那也就是说，

我们在算这个线积分的时候。你看刚才不是这两段线吗？啊，这一段这一段。它不封闭呀。不分泌这个时候呢，你要用格雷，你得补补哪一段就把这一段补上。哦，原来这个叫l我把这个呢叫做l1，那么这样的话，我们可以这样写啊，就原式等于谁？就等于你的l加上我的l1，这就构成封闭了，

那你得减去你这个l1上的阶段。这里边倍镜式可以不写。对于前面这部分，我就可以封闭曲线，我就可以用格林。这个d是谁d？就是你们围成这个三角形去。但是倍镜函数是谁dy？前面系数对x求，那这就是2x减去。dx前面系数对y dx前面系数对y，那就剩一个x。然后底的x底到y。这条线上的得减掉，那得直接算这条线的方程是y=0。

大家看，由于y等于常数dy就等于零，这个呢？y=0，这一项也等于零，所以实际上减的后面这一项基本上是等于零的。那这个呢，实际上最后又等于谁？又等于这个d上x的积分？诶，这个时候注意，这是x奇函数。这个区域呢，关于y轴有左右对称，根据二重积分的奇偶性，

这个又等于零。那这样子照样可以得到这个答案。那这个题呢？我们解法一那用的是直接法分两段，直接带进去算解法二呢，不限格林。显然，这个题解法二简单。这个比解法一要简单好多。好，这是我们要看的例五。那么下面呢？我们再来看一个啊，要计算这是一九九九年的题目，要计算这个线阶方AB是正常数l是谁？

从这样一个点沿着它到这个点，那实际上呢，大家看它是这样一个偏心的圆啊。啊y等于根号2 ax-x^2应该是这样一个偏心圆，这儿圆心。应该是a0，但是呢，它说是从a到b，这个a呢？是这个a到谁a到o？所以它是沿着这个半圆或沿着这个方向走。好，拿到以后这是平面线积分如何算呢？首先看它是不是封闭，封闭就隔离。

它显然不封闭。那么，不封闭这个时候，看谁是否与路径无关？是否与路径无关？那这个时候得看两个偏导数dx前面系数对谁求啊？对y求。大家看它的y求的时候，这是EX cosine y，那后面呢？是要解一个b。这个dy前面就是对x求，这应该是EX cosine y减去个a。一个是减a一个减b，质量不相等，

那不是与路径无关。那这个时候呢，还有什么办法，要么直接算，要么补线搁点。但是大家看这个要直接算你这个方程，又是它显然很麻烦。所以我们就想到了补线用格林。那补谁呢？那当然，为了它封闭，肯定是补下面这一段。那下面这段补哪个方向啊？是oa还是ao要跟它一致，你看它是这样一个逆时针。

所以我们应该补oa。那补oa整个构成封闭曲线逆时针。所以呢，这个地方呢，我们就有了解法一啊天。这个从零零沿y轴到a的这样一个有向线段l1。那这样的话，原来的积分。就等于l并上l1，然后再减去l1上的积分，就是加上它减去它。大家注意，这是封闭曲线，这个就可以用g0。格林应用的话，

注意它是底y前面的系数，对x求减去底x前面系数，对y求。大家注意这个减这个，把前面就减没了，那这个就变成b-a。所以你看这个用了以后，里边两个偏导数一减就是它减它，这就是b-a。然后呢？这个这是第一个它它这个I1I1就是指的这一项啊，就这一项直接用格列公式算。最后，这个b-a是常数，再乘上这个半圆的面积，

二分之派a方。第二项呢？这个得直接算那么直接算你这个l1的方程是谁？l1的方程那就是下面这个线段。这个呢，是y=0。那这儿大家注意，由于y等于常数这一项就等于零了，那只剩下这一项y=0，这个等于零，这个等于零，只剩下这个地方一个谁啊？负bx。所以呢，这个时候最后就是负bx dx。

那么x呢？是从零到2a，所以是零二a，这就算出第二项，然后两个相减。最后把值就算出来。所以你看这个呢，就曲线不封闭，然后它呢，又不是与路径无关，那这个直接算就不方便。所以这个地方呢，仍然是补线。然后用谁啊？格林公式。

好，还有没有别的方法呢？那大家注意啊，你看刚才我们本来验证它是否与路径无关，后来它不是与路径无关，人质量偏导数不相等。但是大家注意看，要没有后面那个a和b的话。质量偏导是相等的。所以这样子呢，我们也还有一种思想，把它分一下组。啊，它们放在一起。把后面呢啊，

这个的有b有a的，这个放在一起。这个时候你可以验证这个怎么样？是与路径无关的。那这个可以用路径无关的方法算。这个呢，不是与路径无关，这个已经很简单，这个可以直接算呀。那么，这个与路径无关，这个用什么方法算呢？要么改坏路径，那要么呢就？找原函数。

实际上大家看啊，这个EX dx可以写成dex。而cosine y底y是不是又可以写成底s in y，所以它的原函数用凑微分很好找。所以前一个积分，这个原函数可以写出来。exs in y那就中点减去起点，这个代项算定。那这就是它与路径无关，计算就是用原函数，原函数怎么来的？凑为分得到的。这个呢？因为这个背景函数很简单，里面没有意义，

也没有sin cos这个呢，就可以怎么样直接算？那么直接算的话，你这个偏行圆参数方程可以写出来，然后直接代进去用参数方程比较方便。所以把这个呢，用参数方程代进去，最后起点的参数零重点参数派。然后进行计算就可以得到相应的这个值。那么，大家注意这个解法二呢？又提供了一种思想，就是说它这个现阶段本来是不是与路径无关？但是呢，我把它拆成两个部分，

就是灵活使用方法，第一部分与路径无关，第二部分呢，直接算。这样子也很方便。好，这是我们要看的例二。下面呢，我们再来看例四这个呃例六这下面是例七二零零八年的考题。他说，曲线要计算，这个曲线积分，这个l是谁y=sin EX从零零到派零的弧度。啊，大家看那这个地方呢？

是x。这是y轴。然后从零零到派零，沿着sin x那大家注意这个s in的x。你看是这样一条曲线。那这儿呢？是零这儿是派，那就是这样。好，这就清楚了，是要计算一个平面二型线阶分曲线就是sin x这个弧段，那我们说拿到以后啊方法的选取，首先看封闭不封闭，封闭就隔离。这一看就不分别。

不封闭，然后就看是否与路径无关。是否与路径无关，那要看dx前面系数对y求零等于不等于dy前面系数对x不等于它不是与路径无关。哦，那它不是与路径无关，那要么就直接算，要么就补线用谁呀？用格林。好，所以下面呢，我们就两种方法算这种方法呢，就直接算啊，因为你这个y=s in。我说直接带呀。

这个地方没有y那这儿有y那这个y用s in带底y，那就是s in。那就是cosine x。所以你看把这个y=sin x代进去，最后就化成x的定积分。x从哪到哪起点的x到终点的x，这就是零到派。然后下来呢，就是这个积分怎么算？这积分呢，大家注意，你看这是s in 2x。后面这呢，有个负二倍的sine cosine。那不是那个两个就抵消了吗？

啊，然后完了以后还剩下谁剩下实际上就是这个地方的2x方乘上sine cosine。所以最后是要算这个积分啊，就是2x方sine cosine。但是呢，这个时候注意你这个2x方sine cosine dx可以凑d sine。2s in底s in可以凑底s in方。然后凑了这个以后，我们用分布。那么分布呢？这就是x平方s in-s in方，除来x方求导2x。再往下算，这个地方呢，注意这代零代派都等于零算这个，

有同学说再分布，那你就慢了。所以这个地方用谁啊？用这个结论。一元定积分里边讲过这个点了零到派xf si nx dx。它等于谁？它等于二分之派倍的零到派f的s in。x这就比较方便。哦，那这个地方呢？用一下这个阶段，你看这个就变成二分之派零到派里边x没有了。那对于这个积分呢，我们讲过你这个在零派积分应该等于零二分之派的2倍。为什么要画到零二分之派呢？

二倍的零二分之派，零二分之派，这个可以用公式，这n=2。偶数二分之一乘上谁二分之派。那所以立马可以算出答案。这个用的是什么方法？这个用的是直接法，直接代进去化为定积分算不麻烦。那我们说现在就两个方法，一个直接带带进去算，一个是补线格零。所以你像这个题啊，也可以到这个地方来，以后补线用格林。

那你刚才你不是这样一条曲线吗？你这个地方是y=sin x。这是零，这是派，那我们要补线用格林，那就得补下面这一段。就是补x轴上这段哪个方向呢？应该是这个方向，因为你这儿是这样方向，这就整个构成一个谁呀？构成一个顺时针。所以l1是x轴上从派零到零零的这样一段。那这样的话，你看你原来的积分就等于给你加一个l1，再给你减一个l1。

这儿呢，是封闭曲线，这儿就可以用格林这地方直接算。那这个呢？格力工谁用？大家注意，这前面为什么有个负号呢？因为你现在呢，是这个封闭曲线，这是沿顺时针方向。相对这个区域，它的正向应该是逆时针方向，格力公式应该是。正向，所以你这要加符号。

里边呢底y层面系数对x求偏导。这个地方呢，应该是4 xy-dx前面系数对y dx前面系数对y，求导零。所以这就是用格林公式化成二乘，这个d是谁就是这样一个平面域。然后第二项呢？这个得直接算，因为你下面这个方程就是y等于谁零？既然y等于常数dy这一项没了，只剩下这一项，这一项跟y没关系，所以就直接写成sine 2 xd x。但是x从哪到哪从起点的派到终点的谁呀零？然后完了以后呢，

大家注意这个呢，是一个二重积分，那这个二重积分呢，我们就在直角坐标下画类似积分。先y后xx是零到派y是零到s in。后面这个呢，直接找原函数算。那这样的话，我们来看。后面这个你代派代零代派，这是cosine 2派cosine 2派等于1 cosine 0也等于一，后面这个等于零。前面这个呢类乘以积分，最后就到这。到这来以后，

仍然像刚才一样，不要去分布了，就是用这个公式，就是用零派。x fs in那个公式比较方便。那这样的话，就应该等于前面有个二分之派，那边x没了。那这个时候呢？s in方在整个这个零派积分等于零二分之派的2倍。然后跟刚才一样，照样可以算出这个答案。所以这个解法二用的是谁啊？补线格林。啊，

对于这个题目来讲，实际上你看直接算和补线用格林难易程度相当。但是这些呢，都是基本功，所以我们不但要会，而且要把它练熟。好，下面呢？我们再来看最后一个例子。最后这个例子呢，是这个问题，大家看它是要计算这个积分。那这个l是谁啊？l是柱面。和这样一个平面的交线，

这是个空间二型线阶分。那然后他说从z轴正向往z轴负向看是逆时针，则这个等于什么？啊，我们来看哦，它是这样一个。曲线什么曲线呢？柱面啊，中心轴为z轴的，这样一个柱面。这个柱面和谁啊？一个斜的平面在这一交。交出来这样一个分比曲线。那这个分闭曲线什么方向呢？它是从z轴。

这个负向正向往z轴的正向向负向看，从上往下看，逆时针那应该是这个方向。所以这应该是这个。好，这清楚了，这就是空间封闭曲，线上二型线接法。那这个时候对空间方曲线呢，我们是不是两种办法一个呢？那就是直接法。那就是写出参数方程代进去，化为定积分。第二种就用高斯诶这个stocks的公式。那如果用第一种方法如何写这个空间曲线参数方程呢？

这个基本思想先写投影曲线，因为投影曲线是平面曲线。大家想你这个空间曲线投影到xy面上是谁？就是个圆呀。那世上就有他。它的参数方程好写啊，那就是x=cosine ty=si net。写通用曲线参数方程，就把两个变量用参数表表示出来，那还有一个呢，但是由这个我可以知道z=-y。所以z就等于负三元t。这就是写空间曲线参数方程的一个一般思想，先写投影曲线，把两个变量。

用t表示出来，再代到另外一个方程。然后把另外一边呢，也用t表示出来。然后完了以后呢，就带进去化为定积分。就是把这的xyz通通用这个式子代进去，最后就化成t的定积分。那对于这样一个圆来讲，这个t应该是转一圈，那就是零到二派。然后完了以后呢，这个积分的计算。大家注意，我们讲过一个结论，

就是你这个是s in方零二派，应该等于零二分之派的4倍。那么后面这个呢，你可以找它的原函数，实际上后面那个呢，最后一算是零，因为它这个是负的sine cosine。负cosine t底t可以写成dsi nine，它的原函数是二分之sine方。带零带二派。s in带零=0带，二派也等于零，所以只剩下前面这个前面这个呢，刚才说了就是零二派s in方应该等于零二分之派。s in方的4倍，

而这个呢，又可以用线程公式。n是偶数，算是二分之一乘二分之派，最后就得到派。这个呢，就是直接写出参数方程带进去算。还有什么办法？stocks公式呀。所以我们就有了解法二。那么，这个解法二呢？就是用s tos公式，但是用s tos公式的时候，这个时候s tos公式有两个。

你到底是用哪一个呢啊？那我们说这地方呢？要根据谁呀？根据这个曲线曲面来选择。那么大家注意，你这个曲面是个柱面，然后这个柱面跟这个平面一交交出来空间的，这样一条曲线。并且呢，我们知道，从上往下看是逆时针，那应该是这个方向。但是注意s公式啊，是把这个线阶分化成张在这个上的一个面积分。那这个面选谁呢？

它只要以它为边界就行了。c减单九学生。哎，你这个线怎么来的？不是你这两个交出来的吗？那你说我面选谁，我就选这个平面上这个。那就选这个平面上包含在它内部的这一块面啊，哪一侧又是法则，你看四指指向这个方向。那这个面的法线方向就应该是朝上的。所以那我们这样子的话，我们面就选好了，就是这个包含在柱面内部的这块平面哪一侧？根据右手法则，

应该是上策。那现在我用s公式是用哪一个呢？是用那个一型那个还是用二型那个两个都可以用？在这呢，由于。这个地方题目比较简单，我们直接用二型那个。那二型这个呢？那你怎么用？就是先写这个架构dy dz dz dx dx dy。前面怎么写？这是dy dz第一项，就是对外求偏导，谁对外求偏导dz前面系数。点阵相面性是对外求撇的一呀。

减去对z求偏导，谁对z dy才没系数？它这没有dy，所以这是零。然后呢？这是dz dx，所以第一项是对z求偏导，谁对z求偏导啊？dx这面系数。那就是一减去对x求。对x是dz前面系数dz前面系数对x求是零啊。这个是一样道理。这应该是对x的偏导，减去对y偏导，谁对x求偏导dy前面系数没有出现dy。

零然后呢？对y求边导，那就是d xma系数d xma系数对y求边导零。好了，这就把它画成这个平面上的一个二形面积分。但是注意这个平面上二形面积方，后面没了，这两个都是一。那么，我们又可以把这个一的这样的面积分化成二重啊二重积分。然后完了以后注意。这个是dy dz啊，这个是dydzdydz，你要画二重积分，就是把它画成对yz的重积分。

那就要把这个面往yo z面上投影。但是呢，大家看这个面。往yl字面上一投影，它就成了一条线了。那所以这个积分就等于零。那这个地方呢？剩下这个就dz dx这是x这是z。那这个时候呢，就是把这个呢，要往这个呃，这是y。这是z。那所以呢，这个时候呢，

要把它投影到谁呀？投影到这个x oz面上。那这个投影到x oz面上，这个怎么投影呢？那这个时候呢，就是把这个要往x oz平面上投影，这两个就要消谁啊？这地方应该要把外校去。啊，那这个把y消一下的话，大家看你看你这个地方，你不是就得到这个y=-z。你消你往这一代，最后就得到x方，加上y方，

那就是z方等于谁一？这说明什么？这说明它投影到x oz面上以后啊，这个地方应该是一个谁应该是这样一个圆。然后呢，还要注意这个呢，就是它是往这个x的OZ面上投影，就是这个面积分化乘积分。还有个正负号的选取。那么，这个正负号选取呢？对于这个x oz，这个就是这个y轴正向这右侧为正，左侧为负。那实际上大家注意，

这个是一个什么面？这个实际上应该是这样的面，你看它呢，在z轴上。啊，你看实际上就是y等于谁呀啊？这个z=-yz=-y是过这个y轴，实际上是这样一个斜的平面。啊，这个斜的平面。那这个斜的平面，然后这个最后呢？就是确定这个前面应该是个正号。那么最后呢，我们就得到它，

应该等于这个圆的面积，单位圆的面积就是派。所以最后就算出它。那这个呢，就是利用ss公式，但是这个地方是用的那个二型面积法。也可以用一形面积分，那你就得算谁算这个的cos阿尔法cos贝塔cos com。这个作为练习，大家自己去练。但是大家看这种题，不管是直接算还是用s tos公式。特别是用斯托斯公式，那很多同学就有点怕一个公式不好记，再一个呢，

把这个化成把面化，把一个现阶分又化成面积分。这个是画成二型，那个是画成一型，但是算起来也不方便啊。那所以呢，还有没有更好的方法呢？那这个时候注意，我们说是有更好的方法。更好的方法是什么？那就是较为的方思想。啊，就画空间为平面。如何化空间为平面呢？大家注意，

由这个式子，我们可以得到谁啊？这个z就等于谁负y？诶，那这个式子里边所有的z都用负y代进去啊？那么，这样子画，大家看，这就画成一个谁这个z用负y代进去，那这就负y dx。这个任用负y代进来去，那叫负的dy那，所以叫负ydy。然后呢？这个c就变成谁？

那就是它在xy面上的投影。大家注意，它俩交出来在xy面上投影，这个投影曲线c是谁c就是x方加y方。等于一。这样就把一个空间的线接缝转化到在xy面上，那个投影曲线上的二型线接缝，这还有一个方向问题。那你注意这个空间圆的时候是逆时针，那投影下的曲线也是逆时针，最后就化成这个单位圆上逆时针，这个平面二型相接分。平面二线线这块就可以用格林公式呀。啊，这个时候大家看。

我们可以用格林公式这呢，你看先把负号提出来。那么，提出来以后，这里边就变成谁，里边就变成y dx+ydy。好，那大家注意这个时候呢，用格林公式啊，先不要看这个负号，那看里边dy前面就是对x。那就是零减去dx MH对y，那这是负一再一个符号，那就是正一，所以用了格内公式以后就变成正一在这个单位圆上积分。

而一在这个单位圆上积分，就这个单位圆的面积，单位圆的面积就是谁呀？就是派呀。所以大家看这个方法简单啊哈，就是化空间线积分为平面线积分。然后用格林回避了用stokes公式。但是注意这个方法呢，有一定的局限性。那你看你这个之所以画起来比较方便，是因为通过这个式子很容易把z用一个简单的式子表达出来。是因为这是一个平面。哦，那大家注意，如果你这个曲线是一张曲面，

一张平面。这个方法都可以用，并且非常方便。但是呢，如果这是个曲面，这个也是个曲面。那你就不一定方便，因为你这个z就用其他变量表示就不是这么简单。但是大家注意，在过去我们见到考过的题目，就这种空间线阶方往往都是一个曲面和一个平面。所以从这个意义上，它有具有一定的普遍性。当然，这种呢，

也有那种梁都是曲面的，但是在我们一般书上的练习题的大部分。都是一个曲面，一个平面，所以这个方法又具有一般性。所以对空间的二型线阶方，我们现在有三个方法，第一直接算第2 ss公式。第三画空间为平面。如果这个曲线是由曲面和平面交出来的，一般说来方法三都比较简单。好，那有关二型线性的计算，那这个我们就看这样几个例子，今天我们的容就这么多。

同学们，再见！