02.知识对坐标的线积分（第二类线积分）

罗泽兵

那另外一种积分叫对坐标的线阶分，也叫做第二类线阶分。那这儿呢，大家注意这个对坐标的衔接方，或者叫第二类衔接方是这样，两个二元函数。沿着这个l这样一个有向曲线啊，注意这个时候这个曲线是有方向的。比如说是这样一个方向。它是这个呢，怎么定义呢啊？它是这样定义也是做合适的极限。那就是把。哼。把这个曲线呢，

就是有向曲线任意划分成n个小段。比如说在第k个小段上，任意取一个点。注意算出这两个函数，在这点的函数值带乘什么？注意你这个呢，这个也是个有向小弧段。所以这个德尔塔xi是谁？就是这个有像小弧段啊，比如说这个是y轴，这个是x轴。那这个德尔塔xi就是这个有向弧段在x轴上的投影。这个德尔塔y呢，就是有向弧段在y轴上投影，既然是有向弧段的投影，

它就有正有负啊。所以一型的线阶方或者叫第一类线阶方是函数值乘弧长，这儿呢是函数值分别乘上。有效弧段在两个坐标轴上投影。大家知道你这个有效弧度的方向，一改变它在两个坐标上投影，就变一个负号。所以就反映出这个二型线金方啊，它跟曲线方向有关。具体怎么个有关方呢？从这个定义可以看出来，你沿着l。从a到b和反过来，从b到a就差符号，因为从a到b和从b到a的。

这个有像弧带在坐标轴上投影，插个符号函数值没有变。所以这就是二型线积分和一型线积分的本质区别，就是二型线积分曲线有方向。所以它的积分值跟曲线方向有关，改变方向积分值仅仅差符号，而一型线阶分它是函数值乘弧长。弧长跟曲线方向没有关系，所以改变曲线方向基本值不变。下面呢，就是关于它的计算。我们首先来看平面上计算那跟异形一样，第一个就是直接法，那如果曲线用参数方程给出了。那如何算这个二型线积分呢？

由于你是沿着曲线做，所以这个xy它是取在曲线上就用曲线方程代进去。这样呢dex。那dx就等于x1撇tdt同理这儿呢，用xtyt代进dy就等于y1撇tdt。再回去化为t的一个定积分。然后这个时候要注意了，对一型线阶分确定上下限的时候，我们刚才特别强调从小到大。是为了保证那个ds是正的。这儿呢，不是这个原则，这儿呢，一定是从谁起点的参数？到谁到终点的参数啊？

哈哈，这个不管下限上限，谁大谁小一定是。从人家给你的有效曲线的起点的参数到终点的参数。那这就是跟一型线定方不一样的地方。好，这就是直直接法啊，就是直接把它代进去，化为定积分。那还有什么方法呢啊？注意如果这个曲线是封闭的。那我们有谁啊？有格林公式。那这个格力工程怎么讲的？就是这个pdx+q dy沿着ll，

假如说就是一个区域d。边界曲线的正向。然后这个上的积分就等于这个封闭曲线所围成这个区域，这就是l。就等于这个分比曲线所围成区域上的一个二重积分。而这个二次方的倍积函数是谁？就是底y前面系数对x求偏导减去底x前面系数对y求偏导。格离公式。把一个封闭曲线。上的这个二型线积分转化为由这个分贝曲线所围成区域上的一个二重积分。但这个时候大家注意，那他说这个l必须是正向大家注意啊，这个正向在定义的时候。他说有一个人沿着某个方向走，如果你区域始终在他的左侧。

这个就叫做正向。那有同学说这不是就正向就是逆时针吗？所以那这个地方大家注意，它为什么不用逆时针呢？那我问你，如果你的区域是这个区域。是这两个围城的环形于。那这个时候它的边界曲线的正向是什么？你看它就不一定是逆时针。因为你是考虑这个区域对外面这个你沿着这个方向走的时候，你所考虑区域在左侧，所以对外面这个来讲。这就是正向你沿着这个方向走，你区域在左侧，但对里边这个呢，

你要沿着这个方向走，你所考虑区域不在你的左，在你的右侧。所以对这个还原性域来讲，这个它边界有两部分，一个是外面这部分，一个是这一部分，那么这一部分的正向就不是逆时针，就应该是顺时针。你沿着这个方向走，你这个区域才左侧，所以呢，它这个正向人家是相对这个区域而言的。那这样子相对这个环形域，这条曲线的这个正向这段边界曲线的正向就应该是顺时针，

而这个就是逆时针。但是如果是相对这个区域来讲，那它的边界曲线正向就应该是它，所以这个正向一定是相对这个区域。你沿着某一个方向走，区域始终在左侧，那叫做相对这个区域的正向，这就是为什么不能说逆时针就叫正向。原因就在这。好，这是格林公式。那格力公式呢？它只能这个直接用是封闭曲线，那如果曲线不封闭又直接算不方便呢？啊，

你给了这样一道曲线段，直接算不方便，但是因为不封闭，又不能用格林，那这个时候经常怎么样补线用格林？那就我给你加一段。那加上这个得减去这个，为什么要加这个？因为加上这个，这封闭区间可以用格林啊，所以这地方呢，第三种方法就是主线用格林公式。还有什么方法呢？还有一个就是利用现阶层与路径无关。那首先就有个判定问题，

我怎么知道这个现阶分是不是与路径无关呢？那判定现阶分与路径无关，比较方便的方法就是两个偏导数相等。但是这个时候注意它对区域有要求，就是单联通啊，在一个单联通区域上。那这两个偏导数相等的话，那这个时候呢，在这个区域上，现阶分是与路径无关的。什么叫做单联通？数学上当然有严格的定义，讲到通俗一点就是这个区域里面没有洞啊，比如说像这种区域就是单连通。但是如果这个区域里面挖掉一块挖一个洞。

这个就不是单联通，这个就叫多联通，或者叫复联通。那用两个偏导数相等来判定线性分布与物体无关，必须区域是单连通啊，如果你中间有洞这种这种辅连通。即使满足这个条件，也不能断定在这样一个复联通上与路径无关。这是如何判定？那么知道这个与路径无关，以后如何算呢？这个时候通常有两种方法，一种就是改换路径。那如何改换路径呢？这个是是这样子啊。

那它给了你一个路径，比如说是沿着这个曲线从。这儿到这儿。那他呢，给你路径不好算，我现在就知道与路径无关，改换路径我肯定改换成简单的路径。改换成什么样的简单路径呢？我们往往就是走直线啊，沿着x轴再沿着y轴。或者这样方向啊，沿着先沿着y轴再沿着谁呀x轴？因为沿着这种直线算比较简单，你与路径无关，那我就改成简单路径，

通常就改成。沿坐标轴的这种折线。还有什么办法呢？还有就是利用原函数啊，那么大家注意这个时候呢，就是当。pd呃偏p撇y等于撇q撇x的时候，这个时候pdx+q dy，它一定是某个函数的全微分。这个大f就叫做它的原函数，然后这个积分呢，就等于这个原函数的终点的值减去起点的值。那这就把这个积分就归结为原函数的两点函数值的差，这实际上就是我们一元积分定积分里边牛顿来自的公式。在二型线阶分里边体现那问题又来了，

如何找这个大f line？我们说通常是有这样几种方法。一个呢，就是偏积分一个呢，凑为分。那这个偏积分和凑微分，这个我们在多元微分里边都讲过，那用这个方法找到。这个大f以后用中点的值减去起点值。所以呢，就当现阶分与路径无关的时候，这个时候有两种方法算一种，就是改换路径，一种是找原函数。那这也有一个选择问题。

如果原函数很好找。那就用它，如果不好找就改换路径，直接算。这就是计算平面二型线阶分常用的四种方法。当然，方法多有多的好处，但是也有不好的地方，我拿了一个题目，我到底选哪个方法呢？啊，这个时候呢，往往选择方法的基本程序是什么？是这样子，就是第一步看什么看。

看这个c方曲线l是否。是否b。那么，大家想这个地方呢？如果是。那肯定首选是谁？格林公式，你说对不对啊？如果你这个积分曲线，它是一个封闭曲线，我当然是考虑格林。然后呢？这个地方呢？如果是否它不是封闭曲线？那这个时候呢，

这地方呢，就有两种方法来选择，那这儿的话，那这个时候呢？一种办法，那你这个地方呢？你看曲线不封闭，曲线不封闭呢？要么就怎么样，要么就补线。格林要么是谁呀？要么就是与路径无关。那所以呢，这个曲线要是不封闭的时候，首先是看什么，

首先这个地方要应该看。是否。与路径无关。那如果与路径无关，那就用路径无关的方法算，如果不是与路径无关，那这个时候呢，要么补线格林。要么怎么样？要么就直接算。啊，直接算。直接算就把它化成定积分算，所以呢，曲线不封闭的时候，

首先是看是否与路径无关，那就看两个偏导数是不是相等。如果是与路径无关，那就用路径无关的方法，如果不是与路径无关，那曲线也不分泌。那这个直接算方便就直接算，直接算不方便补线格林，这就选择方法的基本程序。然后完了以后呢，注意我们这还有一个两类现阶分的联系，左边是二型现阶分。右边呢异形。那实际上，这个dx等于谁？

就等于cos阿尔法ds。dy就等于cos贝塔ds那cos阿尔法cos贝塔是谁？这是有向曲线l那假如说这个方向cos塞尔法cos塞贝塔是什么？就是这个有向曲线在这一点的那个切线向量的方向余弦。这就是两类现积分的联系。好，这就是曲线积分，我们有两种，有第一型，有第二型，那这个地方我们复习了概念性质计算方法。核心是计算方法。好，下面呢？我们看一些例子。

那好，对这个二型铅球粉还有一个空间，那么空间呢？一种呢？就直接算那你得写出它的空间曲线的参数方程。然后呢？就把它带进去啊，那就是把这的xyz都用xtytzt带进去，最后化为t的电积分。定线的原则一定是起点到谁，终点的参数。当然这个地方呢，平面去封闭曲线有格林。空间封闭曲线由stokes公式。而这个stokes公式有两种形式啊！

stokes公式是什么？是这样的看，这是一个封闭的空间曲线l。也是个有向曲线。然后它把这个空间封闭的有向曲线上这个线积分转化成一个面积分。这是化为一型。那这个曲面是谁？这个曲面只要求张在。这个曲线上或者是以这个曲线为边界。然后注意这有个cos阿尔法cos，干嘛cos西塔？那就是它的法线向量的方向余弦。那既然谈到法线下来，你得告诉我这个侧呀，哪一侧是上侧还是下侧？

那这个地方注意曲线的方向。和曲面的方向要符合右手法则。什么是右势法则？如果这个曲线是这样方向。那曲面的方向是谁？四指指向曲线的正向拇指。现在拇指是朝上，那这个时候法线是朝上，换句话说，这个时候曲面是上侧。如果这个曲线方向换过来了，那这个曲面就是下侧，所以这个曲面要求两个一个呢，就是张在这个曲线上，另外一个它的法线。

和曲线的这个正向要符合右手法则。然后完了以后呢，注意cos阿尔法cos贝塔cos要干嘛？就是曲面在这一点的法线向量的方向余弦。这是斯特公式的一种形式，这个好记啊，这是个行列式，它化成异形面积分。当然，还有另外一种就直接化成二型。但是这个怎么记呢？实际上你总结规律也好记，你看这是dy dz。你看，这就是对外偏导数减对z偏导数。

你这是dz dx，这不就是对z偏导数减对x偏导数啊，这是dx dy就是对x偏导数减对y的偏导，那谁对下面求导呢？注意，你这是dy dz，一个是对外，一个是对z，那对外求偏导数的一定是谁？一定是dz，前面的系数。而对z求偏导数就是dy层面系数后面一样的呀，你对z求因为这是dz dx对z求就是dx前面的系数。对x求就是dz前面的系数，这个也是这样的规律，

总结规律，这两个都能记得住。但这个时候呢，注意。那做题的时候就有一个选择，我什么时候选他什么时候选他呢？哎，大家注意第一个呢，往往比较适合于谁呀？这个sigma是谁平面？啊，就是张在这个上面是个平面，为什么它比较方便？因为平面的时候啊，这个就是个长向量。

所以一般说来，当你这个曲面是平面选，它曲面选下面，这是个一般原则，不是说一定。就一般情况下，这样比较方便。这就是ss公式。那对于平面二型线阶分，我们除了直接计算格林公式，我们不是还有一个补线格林公式，还有一个线阶分与路径无关，那这儿呢？当然，也应该对应有曲线部分，

必也可以补线。用斯洛茨公式啊，这也应该有线阶分与路径无关。但是关于后面这两个，那现在呢？很少就在我们电脑里面没有体现，所以我们不在这去再延伸了。所以对空间二型线积分，我们这有两个方法，一个就是化为定积分，直接算一个，就用搜索公式。好，这就是关于空间二型线积分，它的计算。