03.题型三重积分计算

罗泽兵

咳。那么，三重积分呢？常考的题型与典型的例题。那实际上主要还就是考三乘积分的计算。好，下面呢？我们来看。这是一九八八年的题目。那大家看它的区域是谁x方加y方加z方小于等于二方z大于等于零，那实际上大家知道它应该是一个谁？就是一个上半球体。这是x轴，这是y轴，这是z轴，

它给我们的区域应该是在xy面上面的，这个上半球体。好，那这个区域清楚了，然后呢？这个是上半求体，这是欧米伽一。那这个欧米伽二是谁啊？欧米伽二，你看是x方加y方加z方小于等于二方x大于等于0y大于等于0z大于等于零。那这个是什么？这个是实际上是第一挂线。在这一部分。低挂嵌。那刚才这个上半球体是一二三四四线都有。

好了，那你现在看它说欧米伽就上半球体上积分等于第一挂线积分的4倍。那这个时候呢，我们来看一下这个对不对啊？实际上呢，大家注意。这样一个区域，它关于yo zx OZ前后左右都对称。那么这个地方呢诶，这个是x。这是x的奇函数，那大家注意区域关于yo z面前后对称，那这样的话，这个应该等于谁？这个应该等于零。

但这个呢，是第一卦线，这个x大于等于零=0，这是在yo z面上。那这个就是大于零的。那所以呢，这个肯定不对。但是它为什么会写成四倍呢？由于这个区域注意关于yo z前后对称。它假如说是x的偶函数。但是它可是x的奇函数，那这样子如果是x偶函数，我们可以化到前一半的2倍。然后呢，它如果又是y的偶函数，

那可以画到地瓜线，但是它呢是x的奇函数，所以这个显然是错的。然后这个呢，一样是错的，因为它呢是关于x oz左右对称，它又是y的奇函数，所以这边应该等于零。而这边呢，也是大于零，所以这个也错了。然后这个呢？它说是四倍的z。那你注意这个z呢啊，我们来看它是z的奇函数，

但是我们这个区域关于xy面上下不对称。但是呢，我们从另外一个角度看，这个z它既是x偶函数，又是y的偶函数。由于它是x偶函数，那我们这个呢？这个区域又关于yo z前后对称，所以它也等于前一半上的2倍。然后它又是y的偶函数。那这个时候呢，它应该关于x oz又左右对称，所以左一半又等于右一半。那么，这样的话，

根据这个奇偶性，对称性，它因为它既是x偶函数，也是y的偶函数。然后这个区域呢，既关于yo z前后对称，也关于x oz左右对称。所以这个四倍是对的。然后到这儿来，以后呢，实际上你看这个右边这个是大于零，因为在第一卦线的话x×y×z。大于等于零，但是只是在边界上等于零，其他地方都大于零，

所以这个就大于零。但这个呢？那你这样看它是x的奇函数。那这个区域关于yo z前后对称，所以这个是等于零的。左边等于零，右边大于零，那当然这个式子不成立。所以这个主要考的是什么？就是我们刚才的方法四就是奇偶性，对称性。好，这是我们要看的例一。下面呢，我们来看例二。

那这个例二呢？是二零零九年的考题，那这儿呢？是积分域是x方加y方加z方小于等于一。被积函数是z平方。那我们现在拿到一个35积分，在计算的时候，因为我们方法很多，所以我们要想想哪个方法可能会更方便。那么，大家注意，由于这个地方这个被积函数啊。它仅仅是z的一个一元函数，也就说是fz。那么另外呢？

如果我们用z等于常数。去截截出那个区域呢，叫dz。大家看看这个呢，要用z=z去截截出的区域是谁呀？这个区域应该是一个圆，就是x方加y方。小于等于谁啊？一减去z方。所以呢，对于这样的积分啊，实际上大家看就是它本来是一个中心在坐标原点的，这样一个球体。然后呢？我们用z=z去截这个呢？

垂直于z轴的一个平面去截截出来这个区域呢？我们不是把它叫做谁啊？这个区域呢？就叫做dz。而这个dz呢，应该是这样一个圆域。那么所以呢，对于这样的积分，它往往就比较适合于谁呀？先二后一。那么，前二后一呢？那这个可以写成谁？这可以写成原式等于后一那这个地方最后对z。先对谁啊？

先对这是z平方，先对xy。那这个z呢？从哪到哪这个z呢？应该是从这个最小的z到最大的z，那么它呢？最小的z应该是负一。最大的z是正一。那这个对xy积分在哪里？就在这个dz就是用这个z=z去截它截出这个区域上。这就叫先二后一。但是注意，现在是对xy做z是当常数拿走，剩下一积分一积分就这个面积，这是个圆圆的面积，

等于派二方。所以这样的话，内层积分就可以算出来，这是负一到一这个z方再乘上谁啊？这个圆的面积。圆的面积呢，就是派乘r方r方就是一减z平方，然后底的z。这就是用先二后一，你看这个题啊，内层很好算，最后要算这个定积分，大家注意，这是偶函数，它应该等于一半上的2倍。

那就是二倍的零到一，然后呢？是派z方再乘上一减谁呀？z方d的z。那最后具体算一下的话，这个就可以算出答案，十五分之四派。那大家注意这个呢，是用直角坐标下先二后一，那我们在这也总结一下，你看这个题就比较适合用先二后一。什么样的积分适合前二后一？对被积函数，它仅仅是z的一元函数。那么另外呢，

用z=z去截这个区的时候啊，这个面积好求。你看这个截出来，这个区面积这是个圆域呀，面积好算呀，所以如果被积函数是z的一元。而这个区域，用z等于常数去截，截出去面积好算，那就很适合先二后一，并且是先对xy。现在没有出现的那两变量组。然后最后再对z。那我想大家也知道，如果你这仅仅是x的一元函数。

那就要求区域用x=x去截面积好算，同样适合先二后一。好，这是解法一，还有什么办法呢？那大家看，这是个中心在坐标原点的球体，它当然很适合用球坐标。但这个倍镜函数不太适合。但如果这个地方是x方加y方，加z方呢？那就适合了哎，那这个时候大家注意这个球体，这个方程里边xyz这个变量是不是有对称性？就是说xy。

xyz三个变量，随便哪两个交量，哪两个变量交换一下方程是不变的，这叫做变量对称性。那我们就可以知道单独在这个球体上算z方，算x方，算y方是不是值应该是相等的？那这样子话，我们就可以用这个变量的对称性啊，那由于你这个变了三个变量的对称性。那所以呢，我们就可以知道谁，我们就可以知道你这个欧米伽z平方单独算它。DV等于谁等于如果我们这地方写成x平方加y平方加z方，这三项是相等的。

那实际上这个时候它只有一项，那它就等于三分之一的它。那这一步就是用到我们方法五变量对称性，那到这儿来以后你看，不管是被积函数还是积分域，是不是都很适合用谁求？求坐标，所以在求坐标下可以把它化成谁啊？累次积分，然后这是d。底的phi，然后这儿呢是r方这个体积位圆里边是r方sine phi。然后d phi d塞塔d2，所以这是dr。那这个西塔呢？

应该是零到二派phi角是零到派r呢？是零到一。然后呢，具体做一个运算，我们就会得到这个答案是十五分之四派。那大家注意这个地方用了，你看第一步这个地方实际上用的是谁啊？用的是对称性。然后后面呢，又用了谁用了求坐标？所以你看它是两种方法的结合对称性求坐标，这两种方法结合这个题照样可以算的比较简单。所以就是我们通过做题也要总结，就是拿到一个题目以后啊，那方法当然有很多，

但是用什么方法做更方便？那这个题你看这两种方法就比较方便啊，第一个就是用直角坐标系啊，先二后一，第二就是。就是利用对称性和求坐标。好，这是我们要看的第二。下面呢，我们来看例三，这是二零一五年数学一的考题，他说这个欧米伽呢是由平面x+y+z=1与三个坐标面。所围成的区域。那这个区域呢？应该比较简单，

那大家看这是x轴，这是y轴，这是谁？这是z轴。那这个呢？在三个坐标轴上的截距都是谁啊？都是一，所以它呢是这样一个平面，这就是x加。y+z=1。好，那我们下面呢？我们来看如何计算这样一个三重积分。那这个倍积函数，包括这个积分域，

那在直角坐标下，那是这个区域直角坐标下很方便。那垂直多变相呢？我们可以先一后二，也可以先二后一。但是呢，大家注意。这个地方呢，有三项。你要先一后二，这个最后算的时候可以算，但是呢，就有些麻烦。那么在这儿呢，怎么办？

大家注意，你看这儿xyz三个变量，随便哪两个交换方程不变。这就反映了一种对称性。既然是对称的，那就是这个地方呢x单独算积分跟y。单独算跟z单独算，应该是相等的。诶，那x积分是不是也应该等于z的积分？y的积分也应该等于z的积分，那2y积分就等于谁2z的积分，所以最后就可以利用变量对称性把它化成谁啊？化成六倍的z的积分。然后呢？

你看这就是根据变量对称线x积分跟z积分相等，那y积分也跟z积分相等，所以2y积分也等于2z积分。这样子呢，原来积分就应该能够化成六倍的z的积分。然后完了以后呢，在这个区域上，我们采用谁啊？先一后二。那么，先一后二这个先对z后对xy那先对z后对xy xy的区域。就是它在x方面上的投影区域，那也就是这个三角形。然后呢，先对zz是从哪到哪？

在这个投影域里边呢，找一个点过这个点做谁啊？平行于z轴的射线。从哪进？从这个xy面上进，从这个斜的面上出。所以你的z的下限就这点的z零z的上限就这点的z这点z等于谁啊？一减x减y。所以在这就是用直角坐标把它化成一个先对z后对谁啊xy的积分。而z呢，是从零到这个平面上的一减x减y。然后对于前面呢，它是这样一个三角形上的一个二重积分。那我们又把它画成先y后x。因为这个斜边的方程是x+y=1，

那这儿呢，最后对xx就最小的零。到最大的是一。它的y呢？应该是做这个射线，从零到这个上的y这个上的y是谁啊？一减x。这就是利用先一后二，最后把这个二重也化成带积分。那这样子就先算里边。先对z积分，那就变成了三倍的z平方，把上下限带进去再。算对y再算对x。那这样的话，

最后算一下答案是四分之一。大家注意啊，为什么要这一步？你看你要没有这步，这个地方是x+2 y+3 z。那你这个时候啊，在后面这个运算量就非常大。但是呢，这化成z以后，那这个地方就z方这运算量就减小了，所以这个地方变量的对称性。跟我们后面这个计算就带来了方便。还有什么方法呢？那到这来以后，实际上大家看，

因为你这个就变成z的一个一元函数。而这个空间体用z=z去截，应该截出一个三角形面积也好算。所以呢，就是到这一步以后，实际上呢，要用这个先二后一更方便。那所以我们就有了解法二。由变量对称性，我们就得到这个得到这儿来，以后呢，我们根据它的特点，由于它的被积函数。仅仅是z的一元函数。而积分域这个用z=z去解这个面积也好，

求原因是什么？原因是我们来看啊，你看。它呢？这个面的方程是x+y，加上z=1。如果我们用z=z去截，那实际上大家注意这个地方截出来是一个谁啊？再截出来应该是三角形。这个区域呢，我们不是记做dz吗？啊，那这个面积也好算。为什么说？为什么说面积也好算呢？

因为这个是一个直角三角形。直角三角形呢，它的两个边分别是谁啊？那实际上从这个地方看，他本来写出来的话，那这个时候就这个斜边的方程。应该是x+y=1-z。那所以呢，这个时候呢，这个直角边和这个直角边都应该是一减c。那这个面积就等于c二分之一底乘高呀，一减z的谁呀？括起来平方。所以这个呢，就可以用先二后一。

那么，先二后一呢？就是先对xy做，那在这个dz dz是谁？实际上就是它这个地方用z=z去截出来，这个刚才说这个三角形。最后对z那z呢？从哪到哪最小的z0到最大的z1？这就是先二后一。这儿呢，对xy做z当常数那，所以把z拿走，那就剩下z乘上谁啊？这个积分域的面积。刚才说了，

这是一个三角形区域，那是个直角三角形，它的面积等于二分之一底乘高。那就是两个直角边相乘。那这样的话，你看我们内层这个积分就算出来了啊，这个z乘上积分域的面积。然后再往下再算这个单积分，大家看这个呢，就比刚才更简单。那它这样来看，第一步这用的是对称性，这地方用的是谁先二后一？刚才是对称性加先一后二，显然没有先二后一方便，

因为这个题啊叫。就是它的被积函数。它仅仅是z的一元函数。这符合函数对这个先而后已这个方法的要求，然后呢，它这个用区域用z=z去截三角形面积又很好算。所以应该说这个在直接坐标上算的话，这个题目更适合用先二后一，所以你看解法二比解法一要简单很多。我们就是要通过这样做题，总结是为了以后做题呢，速度快，准确率高。好，这是我们要看的这样一个例子。

下面呢，我们再来看，这是一九八九年的一道考题计算，这样一个三重积分。那被对函数很清楚，就是x+z。那关键是区域。区域是什么？大家注意，这个z等于根号x方加y方，实际上就是x方加y方等于z方那个锥面的上半部分。所以这个上半锥面。这是谁？这是上半球面啊，这个单位球面，

所以呢，它的区域应该是这个区域嗯。好，我们具体画一下。这呢是x轴，这是y轴，这是个z轴。要说这个曲面，它应该是一个上半单位求面。啊，上半的单位的球面。然后呢？还有谁还有这个面，这个面是什么这个呢？应该是个上半锥面。

那大家看上半锥面和上半球面，它围的区域呢，应该是在这个地方啊，就围成了。这个区域这个我们也可以把它叫做区顶锥体。然后下面呢，我们来看一下这样一个上的积分怎么算？当然这个呢，首先大家注意就要说这个区域的话。那这就是球面锥面，很适合用谁求坐标？但是这个被积函数不是太适合呀。哎，这个时候大家注意你看。这个呢，

是x的奇函数。那这个时候它关于x有奇偶性要求，区域关于谁要有对称性啊？那就要求yo z前后对称。它前后是对称的呀。所以这一项应该等于零啊，由于这个区域关于yo z面是前后对称，它就是x的奇函数。所以这个x这一项基本就等于零。那有同学说这个不是z的奇函数啊，但是z的奇函数要求区域要关于xy面要上下对称，它上下不对称。所以这一项等于零，那我就只需要算这一项就行了。那只有这一项呢，

我们这个地方这个区域很适合用求坐标，那我们就可以用求坐标算。那用求坐标算的时候注意这个z等于谁啊？z=2 cosine的phi。然后DV等于谁？DV就等于r方sine fined 2 d fined theta。然后这个r的线。那么二呢？应该是表示这个空间点到原点的距离，所以我们从这呢出发影射线。那你看这个r最小是零，最大是球面上，球面上的r是谁啊？一呀，所以r就零到一。

然后呢？因为它是绕。z轴的一个旋转体，所以这个c塔要转一圈零二派。但phi角呢？phi角因为是这个连线和z轴的夹角，所以它最小就是z轴上的，应该等于零。最大就这个锥面上这多少四分之派？好。然后做具体的运算，最后就可以算出这个值。那大家注意，你看这个地方第一步就是用奇偶性把这一项处理掉，你如果不处理到这个都带到这个地方，

这个会带来麻烦。第二步呢，在处理掉它以后，算z的积分的时候，这个地方呢，用的是谁啊？求坐标就这个地方用的是奇偶性。这地方用的是谁啊？求坐标就是奇偶性和求坐标，两者结合起来。这是解法一。还有什么办法可以算这个呢？剩下大家看这个办法是很多的啊。那这个刚才我们说了这一项是等于零的，然后那我们现在在这来看啊。

啊，它的区域呢？是由。这个你看这个单位球面和这个锥面所围成的这样一个区域。啊，上面这个方程是z等于根号一减x平方减y平方。然后这个呢？是谁？这个是个锥面z等于根号的x方，加上y平方。哎，那我们刚才说这个等于零，那最后就剩下谁最后就剩下在这个欧米伽上单独算z的积分？单独算z的积分能不能用直角坐标呢？可以啊，

先一后二。那么，先一后二的话，大家注意这个呢？就化成最后对xy。但这个呢dx y。那这儿呢？咳。这呢，就是剩下一个z底的z。那这个dx y是谁？就是它在下面的这个投影区域。那这个下面投影区域是谁啊？这个时候呢，就是要找它们在下面的投影区域，

那就这两个应该消去谁啊消去z？那么，消去z的话，我们得到根号的x方y方等于根号底下一减x方y方。如果我们把x方加y方记作r方的话。这两个一相等左边根号x方加y方啊，把这个记作二啊，我们把这个这个记作二方。那左边呢，实际上就是二。二等于谁？右端的根号一减c二平方，两边一平方，我们得到二方等于一减二方。二r方等于一r方等于二分之一，

实际上是。rr呢等于根号二分之一。所以实际上这个是一个谁啊？是个圆嗯。就是x方加y方小于等于谁啊？二分之一就是半径是根号，二分之一的圆。好，那这个时候这个区域确定好那z从哪到哪？那你这个时候做平行于z轴的射线。大家看我们做平行z轴射线是从哪进，从锥面进，从上面出。锥面上的z是谁啊？那就是根号的谁x方加y方？

那球面上的z呢？那就是根号的一减x方减去谁y方？好了，这个时候这个内层积分可以做出二分之z方，那所以这个地方呢？就是二分之一。然后这儿就变成谁x方加y方小于等于谁二分之一里边呢？就是这个地方。把这不是原函数二分之z方呀z方里边的z用它代进去上限代进去，那这儿呢，就变成一减x方减y方。减去谁把这个z方里边z用它代进去？那这个时候呢z用它代进去，就它的平方，它一平方，

这后面又是个x方，加上谁y方？然后底的x底的y。那最后就画成这样一个圆域上。这个二重积分，那这个我想大家知道，这个肯定是用谁啊，这肯定是用极坐标，非常方便。就可以算出来。那注意这个地方用的是谁用的是直角坐标先一后谁啊后二？那还有什么办法呢？啊，对于这个积分就是这个地方是欧米伽，这是z这是底的v。

能不能用先二后一呢？因为它也仅仅是z的一元函数啊。那这个时候呢，用z=z去截这个区域的时候。但是注意，如果在这截截出来是截的锥上的一个圆。如果在上面截呢，那截出来是球面这个地方的圆。那主要是谁啊？就是这个地方，这个z等于谁？实际上呢，从这个地方我们可以看出来，就刚才他们在教的时候。这个时候我们得到的是谁？

得到的是r等于根号二分之一，也就是说x方加y方。应该等于谁呀？x方加y方应该是二分之一。那么，这样的话就得到这个z实际上也应该等于谁啊？就是根号二分之一就是这个地方。它俩交涉原始应该z等于谁啊？根号二分之一这个地方。那么所以你用z等于z去截z，如果小于根号二分之一，那就截在下面z，如果大于根号二分之一就截在上面。所以你这个地方呢，你得分两段啊，

分两段就是先二后一啊。那这呢，就应该是z底的v。然后注意这个z呢，在零到根号二分之一。啊，那这个时候呢，就截在下面这个上，下面截出来是谁啊？实际上就是x方加y方等于小于等于谁啊？这就是x方加y方小于等于z平方。然后呢？再加上谁？如果这个z超过这个根号二分之一，那么这儿呢？

就是根号二分之一到谁啊到？到一，然后d得z那这个时候截的区域就截在哪里截的这个球面上？而球面上呢？这个呢？是一个圆这个写出来是谁x方加y方？小于等于谁啊？一减z的平方。这就是说，如果我们要用直角坐标，这个先二后一的话，由于这个z不同，截出来区域不同，所以我们得分两段儿。但是这个时候呢，

后面的计算也是方便的，因为这个地方呢，这个可以写成谁？内层对好，抱歉，这地方是对xy啊。就这个内层都是对xy做积分啊，这儿呢是dex底到y。那这儿呢，也是dx底到y。对xy做积分z是当常数，那所以呢，这个地方就变成了谁呀？它就应该里边就应该是被积函数乘上谁呀？乘上这个面积，

所以我们这儿呢，就可以写出这应该是的零到根号二分之一。然后里边呢z乘上圆的面积z圆的面积是派r方，那就是派z方底的z。然后这个呢，就等于谁就等于根号二分之一到一。然后z乘上这个圆的面积，那就是z乘上派它的r方，它的r方是一减z平方。然后d=z。这就是用先二后一，最后化为定积分，这是个加号。然后这两个呢，分别算就可以得到我们题目的答案。

这是直角坐标系啊，先一后二，这是直角坐标先二后一，实际上呢，这对于这个题来讲，这两种方法难以相当。因为它呢，虽然说背景函数简单，它要分两段。还有什么办法呢？那我们说这个呢？算这个z的积分的时候也可以用谁啊柱坐标？那也就是说这个地方呢，我们用纵坐标。最后，

因为只剩下算谁啊z的积方。那么，我们用纵坐标的话，最后呢，我们把它化成最后得sit。然后呢？这儿对r，然后再对谁啊？再对z，因为它那个体积为圆等于谁等于二？d2 DC它dz，所以这有个二，然后dz。然后呢？这还有一个谁？

这是一个z。那么在这呢，我们先对z后对r西塔。那么，现在zz从哪到哪是从这到这，但是得把它写成柱坐标下的方程。那么，大家注意这个下面这个锥面，这个要写成著作变态方程，那就是根号二方，实际上就z=2。那么所以呢，这个z呢，应该是从二到上面的球面，这个球面要写成柱子比下表示的话，

这是一减。x方加y方就是二平方，所以这个z呢，就是从二到根号的一减二的平方。那有同学说r尔塔怎么定？阿尔塞塔就是在下面这个投影域上按照极坐标定线。这是个圆域，那所以西塔呢？就是零到二派而r呢？它的半径显然是根号二分之一，所以这就是零到谁啊？根号二分之一。那么这样子呢，就把它化成累次积分了，然后再做计算，

这是用谁啊？用柱坐标。所以你看这个题啊，我们用了好几种方法，主要还是希望大家通过这个题呢，把我们这个计算三重积分的各种方法，这个基本方法要学会。你看用到了奇偶性。方法一用的是求坐标方法，二和三使用直角坐标，一个是先一后二，一个是先二后一。当然，这个方法四呢，用的是柱坐标。

几乎把我们学过的方法都用到了，但是呢，计算三乘积分。这个是一个基本功，所以我们不但要会一点点，要熟练。好，这是我们要看的例四。