02.知识三重积分的计算

罗泽兵

那对它来讲的话，核心就是它的计算。30万基本计算它的一个基本思想是什么？跟二重积分一样，那就是把三重积分这样一个新的。积分化成我们熟悉的积分，那就是化成定积分和二重积分的计算。这个转化呢，有这样三种坐标系一个呢，就是在直角坐标下。直角坐标系上，如何把这样一个三重积分化成这个二重积分，和我们熟悉的定积分呢？那么一种方法就叫先一后二。那么，

这个先一后二呢？就是在这，比如说我们先对z后对谁后对xy？那关键呢，是这个定线如何定？那在这呢，我们来看，假如说这个区域是这个区域啊它。是这样一个空间体啊，比如说这是这样一个空间区域。那这个空间区域呢？这个上半部分的曲面。假如说是z=z 2 xy。而下半部分的曲面呢，是z=z 1 xy。

好，那我们把这个区间上的积分化成先对z后对xy这样一个先一，或者叫先定积分后重积分如何定线呢？首先看最后做积分，这个积分域dx y。dx y是谁？就是上面这个空间体投影到。xy面上以后，这样一个区域。就是d的xy啊，它就是这个空间体在x oy面上一个投影区域。那这个z呢？从哪到哪那就是过这个投影域里边的一个点，然后做什么？过这个里边的一个点做平行于z轴的一个射线。

然后就看它从哪进。进的时候是从下面这个面进，那这个的话z呢等于zexy，所以下限就是zexy。那它出的时候呢，是从上面这个面出，上面这个面上的z是谁啊？z2 xy。那这就是把它化成一个先z后xy这样一个先呢单积分后乘积分。我们数学上叫先一后二。那么这个呢，还有另外一种方法，正好相反叫先二后一。比如说我们把它化成先对xy后对z这个积分。那这个地方这个线怎么定的呢？

它是这样来定的啊，就是说我们在这呢，我们假设。这个区域呢，是这样一个区域啊。这是有一个空间体。那一个空间体，然后完了以后呢，注意最后对谁做对z做那z的，这个范围是什么？就是把这个空间的投影到z轴上。假如说这个地方是c1，这个地方呢？谁啊c2？那所以这个z的下限就c1上限c2，

实际上也就是说这个z的线就是这个区域里面z的最小到最大。那然后对xy做这个区域是什么呢？这个dz是什么啊？注意这个dz是什么？就是用z=z这样一个平面去截你这个空间体。那么在这儿呢，就截出来一个区域啊，用这个垂直于z轴这个平面去截这个空间体，那这儿就截出来这样一个区域。这个区域呢，我们把它叫做谁呀dz？所以呢，对xy做的时候，这个区域是什么？就是用z=z去截这个空间体截出来，

这个区平面域上。对xy做二重，然后完了再对z做单积分。这就是在直接坐标下，把30分积分化成我们熟悉的定积分和20分积分。有两种办法，一个呢是先一后二，一个是先二后一或者一个叫先单后重，一个叫先重后单。但是具体呢？什么时候要先二后一，什么时候要先一后二，这个一会我们通过具体例子再给大家总结。这就是直角坐标下计算三重积分的两个基本方法。但是有些三种积分在直接做标记项，

不管是三一先一后二还是先二后一，可能都还不太好算。所以我们类似于二重积分，我们在这引入纵坐标。那么，纵坐标呢？是这样引入的啊？首先，关于这个纵坐标，我们要熟悉，就是在三维空间里边啊。然后。这是直角坐标xy这是z。那么现在呢？给了一个点以后，

那这个时候呢？引入一个就是二。二二二是什么二呢？就是这个点到z轴的这个距离，这个呢记做二。那这个呢？这个点是确定不下来的，然后呢？这个时候呢，我们再引入一个坐标。是谁啊？就是它的z坐标啊，就是这个的z坐标，那这个还是定不下来，然后呢？

再引入一个，谁把这个点投影下来以后？然后呢？这儿一叠。那这儿呢，这个时候呢，再引入一个c塔角。这样的话，大家看这个地方呢，对于这个点来讲，这三个已确定，就是它到z轴的距离已确定。那这个时候它只能在这个柱面上。然后z再一确定它只能在这个圆上，但是西塔一确定这个点就唯一确定下来。

那么，这样可以建立三维空间里边点和r塞塔z这样一个数组的一一对应关系。我们数学上把2 the taz构成的坐标叫纵坐标。那这个纵坐标和直线坐标关系是什么呢？那假如说这一点的直角坐标是xyz。那大家知道这个投影点。这个坐标也是这时应该是xy，然后z就等于谁啊z就应该等于零。然后我们来看它们之间的关系是什么呢？实际上我们从这个地方就可以立马看出。这点xy和这点xy是一样的。那么，这一点的xy分别应该等于谁？2 cos西塔，2s in西塔。

而z呢，就是直角坐标底边的z。由于这个二呢，是这个点到z轴的距离，所以二的范围是大于等于零小于正无穷。而西塔呢，是大于等于零，小于二派z是。哼。负无穷，到正无穷。那大家看，如果这个地方二等于常数。这是一个什么？那就是说到z轴的距离相等的点，

它应该是构成一个以z轴为中心的一个与半径为二的一个圆柱面。如果是西塔等于常数，那么西塔等于常数，它应该是个半平面。z等于常数呢，应该是垂直于z轴的一个平面。这是关于纵坐标以及纵坐标和直角坐标的关系。然后三乘积分如何在柱坐标下计算呢？首先看体积为圆。那在柱坐标下的话，这个体积为圆等于rdrdc它dz这位这个地方有一个r这个不要丢掉。然后完了以后呢？这把这的xyz。用直角坐标跟纵坐标关系，把它带进去，

而体积为ID v呢，就用这个地方的rrr。rdrdz，然后带进去。然后在柱坐标下定线划为累次积分，具体如何定线，我们后面通过具体例子来看。那在这呢，就有一个问题，就什么样的三重积分适合用纵坐标呢？那当然，既跟被追函数有关，也跟谁呀？也跟区域有关。什么样的函数适合用纵坐标？

那我们说，如果你的倍积函数可以写成谁啊？可以写成一个j的z。啊，这个z的一元函数乘上一个谁f的根号x方加y方？就是如果你的倍积函数能写成一个z的一元函数，乘上f根号x方加y方。那这样的函数是比较适合用柱坐标，为什么？因为它在柱坐标下的话，它就是gz。乘上一个谁f2，这就是从函数角度讲，这样的函数比较适合出坐标。然后呢，

从区域角度讲，什么样的区域又适合用纵坐标呢？当然，最适合用纵坐标做的，那当然是这种区域，那它就是最简单了，那就是什么？那就是中心轴为z轴。这样的柱体。那这种柱体上用纵坐标，那这个定线的话，那这个六个线都是常数。或者呢，是什么这种偏心的柱体，或者呢，

就像这种锥体。都是很适合用柱坐标。这就是这个在柱坐标下，如何把三种积分化为这个累积积分计算？另外。什么样的倍积函数适合纵坐标？什么样的区域适合纵坐标？那另外一种呢？坐标系就叫做求坐标。什么是球坐标呢？它是这样定义的啊，就是。假如说这是空间的一个点。那原来呢？我们有直角坐标，

这是xy这是z。那么在这呢，我们引入一个叫求坐标，首先一个呢就是二。注意这个地方r表示，谁表示这个点到原点的距离，这个我们记做r。然后呢，再引入一个什么，再引入一个角。啊，就是这个点和原点连线和z轴的夹角，这个角来记做一个f。那这两个是把这个点定不下来，然后呢，

再引入一个把这个投影下来，然后呢，这两个一叠。这个角叫做谁啊？这个角叫做西塔角。那大家看这三个一给定，那这个点就唯一确定下来就是给一个点就对应一组数，阿尔法塞塔。反过来给一组数阿尔法西塔就唯一确定这样一个点。我们把由阿尔法塞塔所构成的这样一组数叫做求坐标。那么下面呢？我们来看求坐标和直角坐标的关系。大家注意这个呢，是在直角坐标下是xyz那这个点呢，在直角坐标下就是xy等零。

然后呢？我们来看x等于什么？那大家看这个是二啊，这个是二，然后呢？给这个二乘上一个谁啊sine的phi？那实际上应该是表示这一段。然后这一段呢，乘以个cos西塔，那就是x。所以你看2 si nephi cosine theta就等于x。然后呢？rsi nephi是下面这一段，它乘上一个sine西塔，它就是y。

那这个z等于谁呢？z就等于这个r乘上cosine的phi。然后注意这个r呢，是表示这个点到原点的距离，所以这个r的范围是大于等于零小于正无穷。phi呢，是大于等于零，小于等于派，因为我们phi只要从上能转到下面。因为这个西塔呢，你看它是要转一圈的，它是要零二派的，所以这个phi角不要零二派，零二派就重复了。它只要从上能转到下，

因为theta可以转一圈，这样子就可以建立空间的点和阿尔法塞塔这样一组数的一一对应关系。我们数学上把2 phi theta构成的数组叫做求坐标。这就是球坐标。然后呢？如何在求坐标下化成累次基本计算呢？首先看体积为圆。这个DV呢，等于r方sin eph ID 2 d phi d塞塔。然后呢，把它化成把这个三重积分化成求坐标价的这样一个三重积分来计算。那就是DV就用2 sins I nine drd phi d西塔代进去。x呢就用rsi nephi cosine theta yrs I nephi sine theta zr cosine phi代进去。那这个时候就有问题，什么样的三重积分适合用求坐标，

先从函数角度看。什么样的函数适合求坐标呢？那当然是这种函数就是这个s inr函数能写成f根号的x方加y方，再加z方。它为什么适合求坐标啊？因为大家注意这个x方加y方加z方开方就是这个点到原点距离，那就是谁？那就是二。就是说它在求坐标下就变成一个一元函数，所以这样的区域很适合用求坐标。哎，这样的函数适合用求坐标，那什么样的背景，什么样的这个区域适合用求坐标呢？那当然，

最适合用求坐标做的，那当然是什么？就是中心在坐标原点的这种球体。那最适合用求坐标做定线，非常方便，还有什么半球体或者四分之一求体。或者是什么？或者是两个球面。直接加的那个球壳。或者是什么，或者是球面和锥面。那这个地方就围成一个叫什么曲顶的锥体，这些都是很适合用轴坐标做的这个区域。这就是什么样的倍阶函数和什么样的区域适合用求坐标。那这样一段话，

我们计算三重积分，我们有三种坐标系，直角坐标，纵坐标，还有求坐标。当然，我们刚才也给大家归纳了什么时候比较方便用柱坐标，什么时候比较方便用球坐标。那就是为了大家以后便于选择。除过这三种方法，还有什么方法呢？还有一个就是利用奇偶性。那大家注意，我们现在这个区域啊。它是一个空间体。

所以它这个对称，它是要求关于谁啊？关于这个坐标面对称。啊，比如说。这儿x这儿是y这儿是z。那比如说我们这地方有个空间的区域啊，这个空间区域呢，它是关于xy面是上下对称的。啊，上下对称。那这个时候呢，就要求你看关于x方面上下对称，这个时候就要求函数关于谁啊z有奇偶性。那你看这个呢，

把z换成负z值不变，那它就是z的偶函数。这个时候，整个区域上积分就等于谁呀？上面这一半积分的2倍。那这一半怎么表示啊？往这往欧米伽这地方加个z大于等于零，那大于等于零就是x oy面上面这一半上积分的2倍。如果它关于z是奇函数，那积分就等于零。所以就是区域关于x轴面上下对称要求函数关于z有奇偶性。那如果你的区域关于yo z面前后对称，那就要求函数关于x有奇偶性。如果你的区域关于XO这面左右对称，那就要求函数关于y有矩形完全对应的。

这是奇偶性。那第三个呢？就是变量的对称性，什么叫做利用变量对称性啊？那大家看，如果要让你算这个三重积分。西方意义是x方加y方，加z方小于等于二方中心在坐标原点的球体。而它的倍阶函数呢，是x方加y方。DV，这个怎么算呢？大家看，要说从区域角度看，它适合用球坐标。

而从倍镜函数呢，又不太适合它，适合用柱坐标。但是到底用谁呢？你不管用纵坐标还是求坐标或者直角坐标，实际上都不是很方便。谁方便呢？大家注意，如果这个地方是x方加y方加z方。那这个求坐标就方便了。但是这没有z呀。那这个时候大家注意，你看这个地方xyz是完全一个对称的形式，那么大家想你在这个区域上，你单独算x方。

单独算y方，单独算z方，那这个值都是一样的。好，那既然是一样的，那这个时候大家想。x方。加y方，加z方小于等于r方。那你这样子，我们这呢就是x方加y方加z方。大家注意，有对称性可以知道，这三项是相等的。那这两项也是相等的。

哎，这个就不等了，那这个地方呢？如果我先除个三分之一。这就偏相当于只有一项，但是人家是两项呀，所以就三分之二。大家注意，这一步就是用了谁变量的对称性。把这个积分就化成三分之二倍的x方加y方加z方DV，那这个呢？你要用求坐标就非常方便。所以这个呢，在求速变小化成三分之二，然后这儿呢是d theta，

然后这儿呢底的泛。然后这儿。在这个在求坐标下的话是r方，然后体积为圆呢是r方赛因的范。然后底的二。那么，在这个上的话，西塔呢？就是零二派。而f角零派。这个r呢，就是零到大r那后面运算就非常简单。所以这个做法的核心的一步就这一步，这一步就叫做利用变量的对称性。所以我们关于这个三重积分的计算有五种方法。

直角坐标纵坐标求坐标奇偶性变量对称性。那这个时候方法多，有多的好处，我们选择的余地大，但是也有一个不好的地方，就是我们拿到题目以后。要能够根据题目准确的选择使用的方法。好，这是关于三重积分。